3^(4x+3) < (1/9)^(x^2/2)

Ответы на вопрос

Отвечает Савченко Полина.

Давайте решим неравенство $3^{4x + 3} < \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{x^2}{2}}$ .

Шаг 1: Преобразуем правую часть неравенства.

$\frac{1}{9}$ можно записать как $9^{-1}$ , и $9$ — это $3^2$ , то есть:

\left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{x^2}{2}} = \left( 3^{-2} \right)^{\frac{x^2}{2}} = 3^{-x^2}

Таким образом, неравенство принимает вид:

3^{4x + 3} < 3^{-x^2}

Шаг 2: Применим логарифм по основанию 3.

Поскольку основания обеих степеней одинаковы (3), можно взять логарифм по основанию 3 с обеих частей неравенства:

\log_3(3^{4x + 3}) < \log_3(3^{-x^2})

Используем свойство логарифмов: $\log_b(a^c) = c \cdot \log_b(a)$ , и получаем:

4x + 3 < -x^2

Шаг 3: Переносим все в одну сторону.

Приводим неравенство к стандартному виду:

x^2 + 4x + 3 > 0

Шаг 4: Решаем квадратное неравенство.

Для решения этого неравенства можно сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ , используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Подставляем $a = 1$ , $b = 4$ , $c = 3$ :

x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2}

x = \frac{-4 \pm 2}{2}

Таким образом, корни:

x = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x = \frac{-4 - 2}{2} = -3

Теперь у нас есть два корня: $x = -1$ и $x = -3$ .

Шаг 5: Определяем знак выражения.

Нам нужно определить, где выражение $x^2 + 4x + 3 > 0$ . Мы знаем, что квадратичная функция $x^2 + 4x + 3$ имеет корни в точках $x = -3$ и $x = -1$ , и она является параболой, открывающейся вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положительный).

Тогда выражение $x^2 + 4x + 3$ будет положительным, если $x < -3$ или $x > -1$ , а отрицательным для $-3 < x < -1$ .

Шаг 6: Ответ.

Таким образом, неравенство $x^2 + 4x + 3 > 0$

Последние заданные вопросы в категории Математика