Часы со стрелками показывают 11 часов 20 минут. через сколько минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?
подробный ответ

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Начальные данные:

   • Часы показывают 11 часов 20 минут.
   • Мы хотим найти, через сколько минут минутная стрелка в первый раз окажется на одной линии с часовой стрелкой.

2. Положение стрелок в 11:20:

   • Часовая стрелка находится не ровно на 11, а немного смещена, потому что прошло 20 минут. Время 11:20 — это 20 минут после 11:00.
   • Каждая минута перемещает часовую стрелку на $\frac{360^\circ}{12 \text{ часов}} \times \frac{1}{60} = 0.5^\circ$ в минуту.
   • За 20 минут часовая стрелка сдвигается на $0.5^\circ \times 20 = 10^\circ$ от отметки 11.

   Таким образом, часовая стрелка находится на отметке $11 \times 30^\circ + 10^\circ = 330^\circ + 10^\circ = 340^\circ$.

   • Минутная стрелка в 11:20 будет на отметке 4 (поскольку 20 минут — это 1/3 от 60 минут), что соответствует углу $20 \times 6^\circ = 120^\circ$.

3. Понимание проблемы: Нам нужно, чтобы минутная стрелка и часовая стрелка в какой-то момент оказались на одной линии. То есть, углы, которые они занимают относительно "12 часов", должны совпасть. Поставим задачу: найти время, через которое углы стрелок будут одинаковыми.

4. Математическая постановка:

   • За каждую минуту минутная стрелка двигается на 6 градусов.
   • Часовая стрелка за каждую минуту двигается на 0.5 градуса.

   Пусть через $t$ минут после 11:20 минутная стрелка догонит часовую. Тогда угол между минутной стрелкой и часовой стрелкой через $t$ минут будет равен нулю.

   На момент $t$ минут минутная стрелка будет на угле $120^\circ + 6t$, а часовая стрелка — на угле $340^\circ + 0.5t$.

   Чтобы углы совпали, нужно решить уравнение:

   $$120 + 6t = 340 + 0.5t.$$

5. Решение уравнения: Переносим все выражения с $t$ на одну сторону:

   $$6t - 0.5t = 340 - 120,$$ $$5.5t = 220.$$

   Теперь решаем для $t$:

   $$t = \frac{220}{5.5} = 40.$$

6. Ответ: Через 40 минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой стрелкой.