С какой начальной скоростью нужно бросить вниз мяч, находящийся на высоте 15 м, чтобы он подпрыгнул на вдвое большую высоту? Удар считать абсолютно упругим.

Для того чтобы мяч, брошенный вниз с высоты 15 м, подпрыгнул на вдвое большую высоту (то есть на 30 м), нужно рассчитать начальную скорость, с которой его нужно бросить.

Шаг 1: Энергия на высоте 15 м

Для начала, рассчитаем потенциальную энергию мяча на высоте 15 м. Потенциальная энергия $E_p$ определяется по формуле:

где:

• $m$ — масса мяча,

• $g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$),

• $h$ — высота.

На высоте 15 м, потенциальная энергия мяча составляет:

Шаг 2: Энергия на высоте 30 м после удара

Для того чтобы мяч подскочил на высоту 30 м, его потенциальная энергия на этой высоте должна быть равна:

Шаг 3: Принцип сохранения энергии

Если удар абсолютно упругий, то энергия, потерянная на падении, полностью восстанавливается при подъеме. Таким образом, вся кинетическая энергия, с которой мяч ударяется о землю, при отскоке преобразуется в потенциальную энергию на высоте 30 м.

При этом при идеальном упругом ударе отношение потенциальной энергии после удара (на высоте 30 м) и кинетической энергии до удара будет равно:

Шаг 4: Расчет начальной скорости

Теперь нам нужно найти такую начальную скорость $v_0$, с которой мяч должен быть брошен, чтобы при ударе об землю его кинетическая энергия стала достаточной для достижения высоты 30 м. Используем закон сохранения энергии: вся начальная энергия (кинетическая плюс потенциальная на высоте 15 м) превращается в кинетическую энергию при падении.

Кинетическая энергия на момент удара:

При этом полная энергия в момент броска (включая начальную потенциальную энергию) равна:

Сравнив энергии на высоте 15 м и 30 м, можно найти начальную скорость. Уравнение с использованием принципа сохранения энергии:

где $h' = 30$ м. Решая это уравнение для $v_0$, получим, что для мячика, который должен достичь высоты 30 м после удара, начальная скорость должна быть:

После подставления значений:

Ответ:

Для того чтобы мяч подпрыгнул на высоту 30 м, его нужно бросить вниз с начальной скоростью около 24.25 м/с.