Как задают положение точки в пространстве с помощью координат?

Обычно положение точки в пространстве задают её координатами — набором чисел, которые говорят, насколько далеко и в каком направлении точка находится от выбранных осей и начала отсчёта. Самый привычный вариант — декартовы (прямоугольные) координаты:

1. Система отсчёта
   Выбирают начало координат $O$ и три взаимно перпендикулярные оси $x$, $y$, $z$. Часто — правую тройку осей (правило правой руки).

2. Координаты точки
   Точка $P$ задаётся тройкой чисел $P(x, y, z)$.

• $x$ — смещение вдоль оси $x$;

• $y$ — смещение вдоль оси $y$;

• $z$ — смещение вдоль оси $z$.
  Знаки координат показывают, по какую сторону от начала лежит точка.

3. Как мысленно получить $x, y, z$
   Из точки $P$ опускают перпендикуляры на каждую ось. Длины этих проекций с учётом знака и есть координаты.

4. Расстояние до начала и между точками

• До начала: $|OP|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

• Между $P_1(x_1,y_1,z_1)$ и $P_2(x_2,y_2,z_2)$:
  $\;|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.

5. Единицы
   Все три координаты измеряются в одних и тех же единицах длины (метры, сантиметры и т.п.), иначе расстояния и углы теряют смысл.

6. Альтернативные системы (иногда удобнее)

• Цилиндрические: $P(\rho,\varphi,z)$, где $\rho$ — расстояние от оси $z$, $\varphi$ — угол в плоскости $xy$, $z$ — высота. Связь с декартовыми: $x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$.

• Сферические: $P(r,\theta,\varphi)$, где $r=|OP|$, $\theta$ — полярный угол от оси $z$, $\varphi$ — азимут в плоскости $xy$. Связь:
  $x=r\sin\theta\cos\varphi,\; y=r\sin\theta\sin\varphi,\; z=r\cos\theta$.

7. Пример
   Если $P(3,-2,5)$, это значит: от начала координат отойдите на $3$ вдоль $+x$, на $2$ вдоль $-y$ и на $5$ вдоль $+z$. Расстояние до начала: $\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{38}$.

Итого: точку в пространстве задают набором из трёх чисел в выбранной системе координат (чаще всего декартовой), причём сами числа — это ориентированные расстояния проекций точки на оси.