Груз массой 0,1 кг привязали к нити длиной 1 м. Нить с грузом отвели от вертикали на угол 90° и отпустили. Каково центростремительное ускорение груза в момент, когда нить образует с вертикалью угол 60°? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Для решения задачи определим центростремительное ускорение груза в момент, когда нить с грузом образует угол 60° с вертикалью. Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:

где:

• $v$ — скорость груза в рассматриваемый момент,
• $r$ — радиус окружности, по которой движется груз (в данном случае это длина нити, $r = 1 \, \text{м}$).

Шаг 1: Определим скорость груза в момент, когда угол между нитью и вертикалью составляет 60°

Поскольку груз был отклонен на угол 90° и отпущен, он начинает двигаться под действием силы тяжести. При этом происходит преобразование потенциальной энергии в кинетическую.

1. Потенциальная энергия в начальной точке (при угле 90°):

   Когда нить отклонена на 90°, груз находится на высоте, равной длине нити $L = 1 \, \text{м}$. Потенциальная энергия груза в начальный момент:

   $$E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h = 0{,}1 \cdot 9{,}8 \cdot 1 = 0{,}98 \, \text{Дж}$$

2. Потенциальная энергия в момент, когда угол составляет 60°:

   В положении, когда нить образует угол 60° с вертикалью, высота груза относительно нижней точки его траектории будет меньше. Определим эту высоту. Из геометрии треугольника:

   $$h = L \cdot (1 - \cos 60^\circ) = 1 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 0{,}5 \, \text{м}$$

   Потенциальная энергия груза при угле 60°:

   $$E_{\text{пот}}^{\prime} = m \cdot g \cdot h = 0{,}1 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}5 = 0{,}49 \, \text{Дж}$$

3. Изменение потенциальной энергии, равное кинетической энергии груза:

   Разница потенциальной энергии преобразуется в кинетическую энергию:

   $$\Delta E = E_{\text{пот}} - E_{\text{пот}}^{\prime} = 0{,}98 - 0{,}49 = 0{,}49 \, \text{Дж}$$

   Поскольку эта разница составляет кинетическую энергию груза, то:

   $$E_{\text{кин}} = \frac{m \cdot v^2}{2}$$

   Подставляем значения и находим $v$:

   $$0{,}49 = \frac{0{,}1 \cdot v^2}{2}$$ $$v^2 = \frac{0{,}49 \cdot 2}{0{,}1} = 9{,}8$$ $$v = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}13 \, \text{м/с}$$

Шаг 2: Найдём центростремительное ускорение

Теперь, зная скорость $v \approx 3{,}13 \, \text{м/с}$ и радиус $r = 1 \, \text{м}$, подставим значения в формулу для центростремительного ускорения:

Ответ

Центростремительное ускорение груза в момент, когда нить образует угол 60° с вертикалью, составляет $9{,}8 \, \text{м/с}^2$.