На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и массой M = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 1 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а. Определите силу натяжения Т и угловую скорость вала через t=1 с после начала движения.

Давайте разберем задачу поэтапно.

Дано:

• Радиус вала: $R = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м}$,
• Масса вала: $M = 10 \, \text{кг}$,
• Масса груза: $m = 1 \, \text{кг}$,
• Ускорение груза: $a$,
• Момент инерции цилиндра: $I = \frac{1}{2} M R^2$,
• Время: $t = 1 \, \text{с}$.

Необходимо найти:

1. Силу натяжения нити ($T$),
2. Угловую скорость вала ($\omega$) через $t = 1 \, \text{с}$.

1. Анализ сил и уравнений движения

На груз массой $m$ действуют две силы:

• Сила тяжести: $F_g = mg$,
• Сила натяжения нити: $T$.

Уравнение движения груза по второму закону Ньютона:

Вал вращается под действием силы натяжения $T$, создающей момент:

где $\tau$ — момент силы.

По закону вращательного движения:

где $\alpha$ — угловое ускорение, связанное с линейным ускорением $a$ груза соотношением:

Подставим $\tau$ и $I$ в закон вращения:

Сократим $R$:

Подставим выражение для $T$ из (3) в уравнение (1):

Объединим все слагаемые с $a$:

Выразим $a$:

2. Найдем ускорение $a$

Подставим известные значения:

3. Найдем силу натяжения $T$

Используем формулу (3):

4. Найдем угловую скорость $\omega$ через $t = 1 \, \text{с}$

Угловое ускорение $\alpha$:

Через время $t = 1 \, \text{с}$, угловая скорость:

Ответ:

1. Сила натяжения нити $T = 8.15 \, \text{Н}$,
2. Угловая скорость вала через $t = 1 \, \text{с}$: $\omega = 32.6 \, \text{рад/с}$.