Камень бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте от точки бросания кинетическая энергия камня будет в 4 раза меньше его потенциальной энергии?

Дано:

• Начальная скорость камня: $v_0 = 20$ м/с.

• Ускорение свободного падения: $g = 10$ м/с².

• Кинетическая энергия в 4 раза меньше потенциальной: $E_k = \frac{E_p}{4}$.

Найти: высоту $h$, на которой выполняется это условие.

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Согласно этому закону, если пренебречь сопротивлением воздуха, сумма кинетической и потенциальной энергий камня остаётся постоянной.

1. Определим начальную механическую энергию камня.

В момент бросания камень находится на высоте $h_0 = 0$, поэтому его потенциальная энергия относительно точки бросания равна нулю.

Вся механическая энергия в этот момент является кинетической:

где $m$ — масса камня, $v_0$ — начальная скорость.

2. Запишем энергии камня на искомой высоте.

На высоте $h$ потенциальная энергия камня равна:

По условию задачи кинетическая энергия в 4 раза меньше потенциальной:

3. Применим закон сохранения механической энергии.

Начальная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий на высоте $h$:

Сложим слагаемые в правой части:

Сократим массу $m$, поскольку она присутствует в обеих частях уравнения:

Выразим высоту:

4. Подставим числовые значения.

Ответ

Таким образом, на высоте 16 метров от точки бросания кинетическая энергия камня будет в 4 раза меньше его потенциальной энергии.

При этом предполагается, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. Камень достигнет этой высоты дважды: при подъёме и при падении. В обоих случаях соотношение кинетической и потенциальной энергий будет одинаковым.