В цилиндре под поршнем находится воздух. Поршень имеет клиновидную форму и скользит без трения. Какой груз надо положить, чтобы уменьшить начальный объем воздуха в 2 раза?Поршень имеет массу M = 6 кг. Площадь поперечного сечения цилиндра S = 20 см2.

Ответ: на поршень необходимо положить груз массой примерно 26 кг, если считать, что сжатие воздуха происходит при постоянной температуре.

Дано:

• Масса поршня: $M=6$ кг.

• Площадь поперечного сечения цилиндра: $S=20\text{ см}^2=0{,}002\text{ м}^2$.

• Конечный объём воздуха: $V_2=V_1/2$.

• Атмосферное давление: $p_0=10^5$ Па.

• Ускорение свободного падения: $g\approx10\text{ м/с}^2$.

Найти: массу груза $m$.

Решение

1. Определим начальное давление воздуха.

На поршень действуют сила атмосферного давления и сила тяжести самого поршня. Поскольку трения нет, в начальном состоянии давление воздуха под поршнем равно:

Подставим значения:

2. Найдём давление после уменьшения объёма вдвое.

Предположим, что процесс происходит изотермически, то есть температура воздуха не изменяется.

По закону Бойля — Мариотта:

Так как $V_2=V_1/2$, получаем:

3. Определим необходимую массу груза.

После помещения груза на поршень давление воздуха должно уравновесить атмосферное давление и вес поршня вместе с грузом:

Выразим массу груза:

Подставим числовые значения:

Почему клиновидная форма поршня не влияет на результат?

Несмотря на клиновидную форму поршня, равнодействующая вертикальных составляющих сил давления воздуха определяется площадью поперечного сечения цилиндра $S$. Поэтому для равновесия по вертикали можно пользоваться обычной формулой $F=pS$. Отсутствие трения позволяет не учитывать дополнительные силы сопротивления.

Ответ:

Таким образом, чтобы уменьшить объём воздуха в два раза, необходимо положить на поршень груз массой примерно 26 кг.

Важно: этот результат справедлив при изотермическом сжатии и нормальном атмосферном давлении. Если температура воздуха при сжатии изменяется, масса необходимого груза будет другой.