В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S ограниченном сверху подвижным поршнем массой M, находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте H от дна сосуда. На какой высоте h от дна сосуда окажется поршень, если на него положить груз массой m ?

Для решения задачи о перемещении поршня в вертикальном цилиндрическом сосуде при добавлении груза, давайте рассмотрим основные физические принципы, которые лежат в основе этого явления.

Условия задачи

• У нас есть вертикальный цилиндрический сосуд с площадью поперечного сечения $S$.
• Поршень массой $M$ находится на высоте $H$ от дна сосуда.
• Когда на поршень помещают груз массой $m$, мы хотим узнать, на какой высоте $h$ окажется поршень.

Принципы работы

1. Давление в сосуде: Давление в сосуде на уровне поршня определяется как сумма атмосферного давления $P_0$ и давления, создаваемого колонной воздуха над поршнем.

2. Сила, действующая на поршень: Сила, действующая на поршень, включает:

   • Силу тяжести поршня: $F_{\text{поршня}} = M \cdot g$
   • Силу тяжести добавленного груза: $F_{\text{груза}} = m \cdot g$
   • Силу, создаваемую давлением воздуха: $F_{\text{воздуха}} = P \cdot S$

   Здесь $g$ — ускорение свободного падения.

3. Равновесие сил: В состоянии равновесия, когда поршень находится на новой высоте $h$, сумма сил, действующих на поршень, должна быть равна нулю:

   $$F_{\text{воздуха}} = F_{\text{поршня}} + F_{\text{груза}}$$

   Подставляем выражения для сил:

   $$P \cdot S = M \cdot g + m \cdot g$$

   Давление в сосуде $P$ также можно выразить через высоту столба воздуха. Если воздух при комнатной температуре считается идеальным газом, то можно использовать закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа.

Расчет высоты $h$

1. Исходное состояние: Давление на высоте $H$ будет:

   $$P_0 + \frac{M \cdot g}{S} = \frac{P_0 + \rho_{\text{воздуха}} \cdot g \cdot H}{S}$$

2. Новое состояние: После добавления груза, высота поршня изменится на $h$:

   $$P_0 + \frac{(M + m) \cdot g}{S} = \frac{P_0 + \rho_{\text{воздуха}} \cdot g \cdot h}{S}$$

3. Приравнивание давлений: Приравниваем давление до и после добавления груза:

   $$P_0 + \frac{M \cdot g}{S} + \frac{m \cdot g}{S} = P_0 + \rho_{\text{воздуха}} \cdot g \cdot h$$

   Убираем одинаковые части:

   $$\frac{(M + m) \cdot g}{S} = \rho_{\text{воздуха}} \cdot g \cdot h$$

4. Получаем формулу для высоты: Из этой формулы находим высоту:

   $$h = \frac{(M + m) \cdot g}{\rho_{\text{воздуха}} \cdot g} = \frac{M + m}{\rho_{\text{воздуха}}}$$

Заключение

Таким образом, после добавления груза массой $m$, поршень поднимется на новую высоту $h$, которая будет определяться соотношением масс поршня и груза относительно плотности воздуха в сосуде. Этот подход позволяет предсказать, как изменится положение поршня в зависимости от изменений внешних условий, таких как добавление массы.