В сосуд, в котором находится смесь льда и воды равных масс при температуре 0 ∘C, опустили кипятильник постоянной мощности. Через некоторое время его выключили, и после этого температура в сосуде установилась 20 ∘C. Какая температура установится в сосуде, если ещё раз включить кипятильник на такое же время? Ответ дайте в ∘C, округлив до целого числа. Удельная теплоёмкость воды cв=4200 Дж/(кг⋅∘C), удельная теплота плавления льда λ=330 кДж/кг.

Для решения этой задачи сначала нужно понять, как работает процесс плавления льда и нагрева воды.

Шаг 1: Определим, что происходит при первом нагревании

В сосуде изначально находится смесь льда и воды при температуре 0°C. Когда включается кипятильник, под воздействием тепла происходит плавление льда, а затем нагревание воды. Тепло, передаваемое в систему, сначала идёт на плавление льда, а потом — на повышение температуры воды.

1. Пусть масса льда и масса воды в сосуде равны. Обозначим массу льда (и воды) как $m$ (в килограммах).

2. Теплота, необходимая для плавления льда:

   $$Q_{\text{плавление}} = m \cdot \lambda$$

   где $\lambda = 330 \, \text{кДж/кг} = 330000 \, \text{Дж/кг}$.

3. После того как весь лёд растаял, вся масса системы (льд и вода) становится водой. Теперь система представляет собой воду массой $2m$ (потому что масса льда равна массе воды).

4. Тепло, необходимое для нагрева этой воды от 0°C до 20°C:

   $$Q_{\text{нагрев}} = 2m \cdot c_{\text{в}} \cdot \Delta T$$

   где $c_{\text{в}} = 4200 \, \text{Дж/(кг⋅°C)}$, а $\Delta T = 20 - 0 = 20 \, \text{°C}$.

   Таким образом, теплоту для нагрева воды можно выразить как:

   $$Q_{\text{нагрев}} = 2m \cdot 4200 \cdot 20 = 168000m \, \text{Дж}$$

Шаг 2: Энергия, переданная в систему

Кипятильник имеет постоянную мощность, и время работы кипятильника одинаково при каждом включении. Обозначим количество переданной энергии через $Q_{\text{передано}}$. При первом включении кипятильника эта энергия передаётся как на плавление льда, так и на нагрев воды. Тепло, необходимое для плавления льда и нагрева воды до 20°C, должно быть равно энергии, переданной кипятильником:

Шаг 3: Повторное включение кипятильника

При повторном включении кипятильника на такое же время, как и в первый раз, он передаст такую же энергию, то есть ещё $498000m$ джоулей. Теперь эта энергия пойдёт на нагрев уже имеющейся воды, то есть на увеличение температуры воды.

Обозначим новую температуру системы после второго включения кипятильника как $T_{\text{новая}}$.

Тепло, необходимое для нагрева воды на $\Delta T$ градусов, будет:

Так как переданное тепло равно этому количеству энергии, то:

Упростим уравнение:

Решим это уравнение:

Округляя до целого числа, получаем:

Ответ:

Температура, которая установится в сосуде после второго включения кипятильника, будет $80 \, \text{°C}$.