У поверхности Земли на тело действует сила всемирного тяготения 36Н. Чему равна сила тяготения, действующая на это тело в радиальной шахте глубиной R3/2? Землю считать сферической и однородной

Для решения задачи используем закон всемирного тяготения Ньютона и предположение, что Земля сферическая и однородная. Это позволяет применить теорию о силе гравитации внутри сферически-симметричного тела.

Основные принципы:

1. Сила гравитации у поверхности Земли: Сила всемирного тяготения $F$ у поверхности Земли выражается через:

   $$F = G \cdot \frac{M \cdot m}{R^2},$$

   где:

   • $G$ — гравитационная постоянная,
   • $M$ — масса Земли,
   • $m$ — масса тела,
   • $R$ — радиус Земли.

2. Гравитация внутри Земли: Если тело находится внутри однородной сферической Земли на расстоянии $r$ от её центра, сила тяжести определяется только массой той части Земли, которая находится внутри сферы радиусом $r$. Эффект массы оболочки на расстоянии $R - r$ компенсируется, и вклад этой массы в силу равен нулю.

   Масса внутренней сферы $M_r$:

   $$M_r = M \cdot \left(\frac{r}{R}\right)^3,$$

   так как масса пропорциональна объёму, а объём пропорционален кубу радиуса.

   Тогда сила тяжести на расстоянии $r$ от центра равна:

   $$F_r = G \cdot \frac{M_r \cdot m}{r^2} = G \cdot \frac{M \cdot m}{R^3} \cdot r.$$

3. Подстановка глубины: В задаче глубина шахты равна $\frac{R}{2}$, то есть тело находится на расстоянии:

   $$r = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$$

   от центра Земли.

Решение:

Сила тяжести на глубине $r = \frac{R}{2}$:

Подставим $r = \frac{R}{2}$:

Сравним с силой тяжести на поверхности $F$:

Отсюда:

Сила тяжести внутри шахты равна половине силы тяжести у поверхности. Если у поверхности $F = 36 \, \text{Н}$, то в шахте на глубине $\frac{R}{2}$:

Ответ:

Сила тяготения, действующая на тело в радиальной шахте глубиной $\frac{R}{2}$, равна 18 Н.