Два квадратных массивных чугунных листа стороной в 1 м установлены на поверхности Земли вертикально параллельно друг другу на расстоянии 10 см друг от друга. С верхней части одного из листов в направлении другого вылетает дробилка, начальная скорость которой равна 1 м/с и направлена горизонтально.
Сколько раз дробника ударится о листы, если ее удары абсолютно упругие, а сопротивлением воздуха можно пренебречь?

Для решения задачи разберем физику движения дробинки. Условия задачи предполагают наличие абсолютно упругих ударов и отсутствие сопротивления воздуха, что упрощает анализ.

Входные данные:

1. Два листа параллельны и находятся на расстоянии 10 см (0,1 м).
2. Дробинка вылетает с верхней части одного из листов горизонтально со скоростью 1 м/с.
3. Удары дробинки абсолютно упругие.
4. Сопротивление воздуха отсутствует.

Подход к решению:

1. Движение в горизонтальной плоскости (ось x):

   • Горизонтальная скорость дробинки остаётся постоянной (1 м/с), так как на неё не действуют силы, изменяющие движение вдоль оси $x$.
   • Расстояние между листами — $d = 0{,}1 \, \text{м}$.
   • После каждого удара дробинка отражается от листа и продолжает движение к противоположному листу. Поскольку удары абсолютно упругие, скорость после отражения остаётся равной по модулю 1 м/с.

   Время между ударами можно найти:

   $$t_{\text{удар}} = \frac{d}{v_x} = \frac{0{,}1}{1} = 0{,}1 \, \text{с}.$$

2. Движение в вертикальной плоскости (ось y):

   • На дробинку действует сила тяжести, вызывая ускорение $g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2$.
   • Начальная вертикальная скорость дробинки $v_{y0} = 0$.
   • Вертикальная координата дробинки $y(t)$ изменяется по закону свободного падения: $$y(t) = \frac{1}{2} g t^2.$$

3. Условие удара с листом:

   • Горизонтальное перемещение дробинки между ударами равно расстоянию между листами ($d = 0{,}1 \, \text{м}$).
   • Время между ударами $t_{\text{удар}} = 0{,}1 \, \text{с}$.
   • После $n$-го удара общее время составляет $t = n \cdot t_{\text{удар}} = n \cdot 0{,}1 \, \text{с}$.

4. Сравнение вертикального перемещения и высоты листов:

   • Чтобы найти количество ударов, нужно определить, при каком $n$ дробинка коснётся земли.
   • Высота $h$, на которой находится дробинка в момент $t$, определяется: $$h = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot \left(n \cdot 0{,}1\right)^2.$$
   • Подставим значения $t = n \cdot 0{,}1$: $$h = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot (0{,}1n)^2 = 0{,}49 \cdot n^2.$$
   • Учитывая, что начальная высота дробинки равна 1 м, условие $h < 1$ задаёт пределы $n$.

Определение количества ударов:

• Пока $h < 1$, дробинка будет продолжать движение между листами. Найдём максимальное $n$, при котором дробинка ещё не достигла земли: $$0{,}49 \cdot n^2 < 1.$$ $$n^2 < \frac{1}{0{,}49} \approx 2{,}04.$$ $$n < \sqrt{2{,}04} \approx 1{,}43.$$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, дробинка совершит 1 полный удар о каждый лист, после чего упадёт на землю.

Ответ:

Дробинка ударится о листы 2 раза (по одному разу о каждый лист), прежде чем упадёт на землю.