Выразите среднюю квадратичную скорость молекулы через универсальную газовую постоянную и молярную массу.

Средняя квадратичная скорость молекулы газа ($v_{\text{ср.кв.}}$) выражается через универсальную газовую постоянную ($R$) и молярную массу ($M$) следующим образом:

Вывод формулы:

Средняя квадратичная скорость определяется через кинетическую теорию газов. Согласно этой теории, средняя кинетическая энергия одной молекулы идеального газа связана с температурой $T$ по формуле:

где:

• $m$ — масса одной молекулы,
• $v_{\text{ср.кв.}}$ — средняя квадратичная скорость молекулы,
• $k$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \times 10^{-23}$ Дж/К),
• $T$ — абсолютная температура (в Кельвинах).

Выразим среднюю квадратичную скорость:

Так как масса одной молекулы связана с молярной массой ($M$) через число Авогадро ($N_A$), то:

Подставляя это в формулу для скорости:

Зная, что $R = k N_A$ (универсальная газовая постоянная), можно записать окончательную формулу:

Итоговая формула:

где:

• $R \approx 8.314$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная,
• $M$ — молярная масса газа (в кг/моль),
• $T$ — температура в Кельвинах.

Интерпретация:

1. Зависимость от температуры: Средняя квадратичная скорость молекул пропорциональна квадратному корню из температуры. Это означает, что при нагревании газа скорость молекул увеличивается.
2. Зависимость от молярной массы: Чем больше молярная масса газа, тем меньше средняя квадратичная скорость молекул. Например, молекулы водорода ($H_2$) движутся быстрее, чем молекулы кислорода ($O_2$), при той же температуре.

Применение формулы:

Для идеального газа можно вычислить среднюю квадратичную скорость при заданных условиях. Например, для кислорода ($O_2$, $M = 0.032$ кг/моль) при $T = 300$ К:

Таким образом, средняя квадратичная скорость молекул кислорода при комнатной температуре составляет около 482 м/с.