Являются ли названия карт (дама, десятка, валет) одушевлёнными или неодушевлёнными существительными?

Коротко: в карточном значении «дама» и «валет» — одушевлённые, а «десятка» — неодушевлённая.

Почему так. В русской грамматике одушевлённость/неодушевлённость определяется смыслом: если существительное называет лицо (или животное), оно ведёт себя как одушевлённое. Названия «фигур» в колоде — король, дама, валет — называют персонажей, поэтому грамматически одушевлены; числовые карты (туз, десятка, восьмёрка и т. п.) — предметы, они неодушевлённые.

Как это видно в падежах (винительный падеж — главный «тест»):

• Валет (м.р., одуш.): вин. ед. = род. ед. → «положил валета», «сбросил двух валетов» (а не «положил валет», «сбросил два валета» — это было бы для неодуш.).

• Дама (ж.р., одуш.): в ед. числе разницы не видно («сыграл даму»), но во мн. числе вин. = род. → «сбросил трёх дам», «разыграл дам» (а не «дамы»).

• Десятка (ж.р., неодуш.): вин. мн. = им. мн. → «сбросил десятки», «вытянул три десятки».

Вне карточного значения «дама» (‘женщина’) и «валет» (устар. ‘слуга’) тоже одушевлённые, а «десятка» во всех своих значениях остаётся неодушевлённой.