X²-6x≥0 помогите народ (©_©)

Привет! Давай разберемся с неравенством $X^2 - 6x \geq 0$.

1. Приведение неравенства к удобной форме:

   Начнем с того, что перепишем его немного иначе. В данном случае можно вынести общий множитель $x$ за скобки:

   $$x(x - 6) \geq 0$$

   Теперь неравенство имеет вид произведения двух множителей. Наши задачи — найти, когда это произведение больше или равно нулю.

2. Нахождение корней уравнения:

   Чтобы решить неравенство, сначала решим уравнение, которое соответствует границе перехода:

   $$x(x - 6) = 0$$

   Умножение двух множителей равно нулю тогда, когда один из них равен нулю. Получаем два уравнения:

   $$x = 0$$ $$x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6$$

   Таким образом, корни уравнения — это $x = 0$ и $x = 6$.

3. Определение знаков произведения в промежутках:

   Теперь нужно определить знаки выражения $x(x - 6)$ на промежутках, которые разбиваются корнями $x = 0$ и $x = 6$. Эти промежутки:

   $$(-\infty; 0), \quad (0; 6), \quad (6; +\infty)$$

   Для этого можно подставить любое значение из каждого промежутка в выражение $x(x - 6)$ и посмотреть, какой знак получится.

   • В промежутке $(-\infty; 0)$ возьмем, например, $x = -1$: $$(-1)((-1) - 6) = (-1)(-7) = 7 \quad \text{(положительное значение)}$$
   • В промежутке $(0; 6)$ возьмем $x = 1$: $$1(1 - 6) = 1(-5) = -5 \quad \text{(отрицательное значение)}$$
   • В промежутке $(6; +\infty)$ возьмем $x = 7$: $$7(7 - 6) = 7(1) = 7 \quad \text{(положительное значение)}$$

4. Запись ответа с учетом знаков:

   Нам нужно, чтобы произведение было больше или равно нулю. Это происходит в следующих случаях:

   • На промежутках, где выражение положительно, а именно на $(-\infty; 0)$ и $(6; +\infty)$.
   • В точках, где произведение равно нулю, т.е. в $x = 0$ и $x = 6$.

   Таким образом, решение неравенства — это промежутки и точки:

   $$(-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$.