Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу, и найдите ее декартовы координаты :

а) 3п/2
б) п/6
в) 4п/3
г) -п/3

Для решения этой задачи нужно понимать, что числовая окружность — это окружность, на которой каждое число (или угол) можно представить как точку, находящуюся на единичной окружности в декартовой системе координат.

1. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1, которая имеет центр в начале координат. На ней любое число угла можно представить через его координаты $(x, y)$, где $x = \cos(\theta)$, а $y = \sin(\theta)$.

Теперь разберемся по порядку для каждого угла:

а) $\frac{3\pi}{2}$

1. Угол $\frac{3\pi}{2}$ соответствует точке на числовой окружности, которая находится на оси $y$, но на отрицательной стороне (по направлению вниз).
2. Это угол 270° в градусах.
3. Для этого угла на единичной окружности:
   • $x = \cos\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 0$,
   • $y = \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1$.

Ответ: Декартовы координаты точки $\left(0, -1\right)$.

б) $\frac{\pi}{6}$

1. Угол $\frac{\pi}{6}$ (или 30°) — это небольшой угол, который находится в первой четверти.
2. Для этого угла на единичной окружности:
   • $x = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
   • $y = \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: Декартовы координаты точки $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$.

в) $\frac{4\pi}{3}$

1. Угол $\frac{4\pi}{3}$ (или 240°) — это угол во второй половине третьей четверти, то есть в третьей четверти координатной плоскости.
2. Для этого угла на единичной окружности:
   • $x = \cos\left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$,
   • $y = \sin\left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Декартовы координаты точки $\left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

г) $-\frac{\pi}{3}$

1. Угол $-\frac{\pi}{3}$ (или -60°) — это угол, расположенный ниже оси $x$ в четверти, противоположной первой.
2. Для этого угла на единичной окружности:
   • $x = \cos\left( -\frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$,
   • $y = \sin\left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Декартовы координаты точки $\left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

Резюме:

• а) $\frac{3\pi}{2}$ → $(0, -1)$
• б) $\frac{\pi}{6}$ → $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$