Lg(x+2)=lg(5x+1)-lg(4-2x)
Помогите плииз!

Решим уравнение $\lg(x+2) = \lg(5x+1) - \lg(4-2x)$ с помощью свойств логарифмов.

1. Используем свойство вычитания логарифмов: $\lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b}$. Таким образом, наше уравнение можно записать как:

   $$\lg(x+2) = \lg \frac{5x+1}{4-2x}$$

2. Равенство логарифмов: Если $\lg A = \lg B$, то $A = B$, при условии, что $A > 0$ и $B > 0$. Теперь приравняем аргументы логарифмов:

   $$x + 2 = \frac{5x+1}{4-2x}$$

3. Избавляемся от дроби. Умножим обе части уравнения на $4 - 2x$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$(x + 2)(4 - 2x) = 5x + 1$$

4. Раскрываем скобки:

   $$4x + 8 - 2x^2 - 4x = 5x + 1$$

   Приведём подобные слагаемые:

   $$-2x^2 + 8 = 5x + 1$$

5. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

   $$-2x^2 - 5x + 7 = 0$$

   Умножим на $-1$ для удобства:

   $$2x^2 + 5x - 7 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ равен $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае:

   $$a = 2, \quad b = 5, \quad c = -7$$

   Найдём дискриминант:

   $$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$$

7. Находим корни уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-5 \pm 9}{4}$$

   Тогда:

   $$x_1 = \frac{-5 + 9}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{-5 - 9}{4} = -\frac{14}{4} = -3.5$$

8. Проверяем область допустимых значений (ОДЗ): Чтобы логарифмы были определены, их аргументы должны быть положительными:

   • $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$,
   • $5x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{5}$,
   • $4 - 2x > 0 \Rightarrow x < 2$.

   Пересечение этих условий: $-\frac{1}{5} < x < 2$.

9. Проверяем корни на соответствие ОДЗ:

   • $x = 1$ удовлетворяет $-\frac{1}{5} < 1 < 2$,
   • $x = -3.5$ не удовлетворяет $-\frac{1}{5} < x < 2$.

   Поэтому единственным подходящим решением является $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.