Найдите точку максимума функции y=(x−4)^2​(x+5)+8.

Чтобы найти точку максимума функции $y = (x - 4)^2(x + 5) + 8$, нам нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение первой и второй производных функции, а также проверку критических точек на максимум.

1. Найдем первую производную функции $y$ по $x$

Для этого применим правило производной произведения (производная $u \cdot v = u' \cdot v + u \cdot v'$), где $u = (x - 4)^2$ и $v = (x + 5)$.

Производная $u = (x - 4)^2$ по $x$ равна $u' = 2(x - 4)$.

Производная $v = (x + 5)$ по $x$ равна $v' = 1$.

Таким образом, первая производная $y'$ равна: $y' = 2(x - 4)(x + 5) + (x - 4)^2 \cdot 1$

2. Упростим выражение для первой производной

Раскроем скобки и упростим выражение: $y' = 2(x^2 + 5x - 4x - 20) + (x^2 - 8x + 16)$ $y' = 2x^2 + 2x - 40 + x^2 - 8x + 16$ $y' = 3x^2 - 6x - 24$

3. Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю

$3x^2 - 6x - 24 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать метод разложения на множители, квадратную формулу или завершение квадрата. Упростим уравнение, разделив все на 3:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$ $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$ $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$ $x_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{2}$

Итак, у нас есть две критические точки: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

4. Используем вторую производную для определения максимума

Теперь найдем вторую производную $y''$: $y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 24)$ $y'' = 6x - 6$

Теперь проверим знак второй производной в критических точках:

Для $x_1 = 4$: $y''(4) = 6 \cdot 4 - 6 = 24 - 6 = 18$ (положительно, значит в точке $x_1 = 4$