Извесно,что ctg t=-21/20,П/2<t<П.Вычислите sin t,cos t ,tg t

Для того чтобы найти значения $\sin t$, $\cos t$ и $\tan t$ при условии, что $\ctg t = -\frac{21}{20}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, нужно использовать несколько тригонометрических преобразований и свойства углов в различных квадрантах.

1. Определим $\cot t$: Дано, что $\ctg t = -\frac{21}{20}$, то есть

   $$\cot t = -\frac{21}{20}.$$

   Из определения $\cot t$ знаем, что

   $$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{21}{20}.$$

   Это означает, что

   $$\cos t = -\frac{21}{20} \sin t.$$

2. Используем основное тригонометрическое тождество: Из основного тождества для синуса и косинуса

   $$\sin^2 t + \cos^2 t = 1,$$

   подставляем выражение для $\cos t$ через $\sin t$:

   $$\sin^2 t + \left( -\frac{21}{20} \sin t \right)^2 = 1.$$

   Упростим это:

   $$\sin^2 t + \frac{441}{400} \sin^2 t = 1.$$

   Сложим подобные:

   $$\left( 1 + \frac{441}{400} \right) \sin^2 t = 1,$$ $$\frac{841}{400} \sin^2 t = 1.$$

   Теперь умножим обе части уравнения на 400:

   $$841 \sin^2 t = 400,$$ $$\sin^2 t = \frac{400}{841}.$$

   Извлекаем корень:

   $$\sin t = \pm \frac{20}{29}.$$

   Так как $t$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, в этом интервале синус положителен. Таким образом,

   $$\sin t = \frac{20}{29}.$$

3. Найдем $\cos t$: Используем выражение для $\cos t$:

   $$\cos t = -\frac{21}{20} \sin t = -\frac{21}{20} \times \frac{20}{29} = -\frac{21}{29}.$$

4. Найдем $\tan t$: Из определения тангенса:

   $$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{20}{29}}{-\frac{21}{29}} = -\frac{20}{21}.$$

Таким образом, значения тригонометрических функций для угла $t$ следующие:

• $\sin t = \frac{20}{29}$,
• $\cos t = -\frac{21}{29}$,
• $\tan t = -\frac{20}{21}$.