Запись числа 2B16 в некоторой системе счисления выглядит так: 111N. Найдите основание системы счисления N​

Для того чтобы найти основание системы счисления $N$, начнём с того, что нам дано число $2B_{16}$, записанное в шестнадцатеричной системе счисления. В некоторой другой системе счисления это число представлено как $111_N$, где $N$ — основание этой системы счисления.

Шаг 1: Переведём $2B_{16}$ в десятичную систему счисления.

Число $2B_{16}$ — это шестнадцатеричное число. Чтобы его перевести в десятичную систему, необходимо разложить его по степеням основания системы:

Здесь $B$ в шестнадцатеричной системе счисления равно 11 в десятичной. Теперь подставим значения:

Итак, $2B_{16} = 43_{10}$.

Шаг 2: Выразим $111_N$ в десятичной системе счисления.

Число $111_N$ можно записать через разложение по степеням основания $N$:

Упростим выражение:

Шаг 3: Приравниваем выражения.

Мы знаем, что оба числа равны в десятичной системе:

Шаг 4: Решим это квадратное уравнение.

Переносим всё в одну часть уравнения:

Получаем:

Теперь решим это квадратное уравнение по формуле:

Где $a = 1$, $b = 1$, $c = -42$. Подставляем значения:

Получаем два решения:

Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, выбираем положительное решение:

Ответ: основание системы счисления $N = 6$.