В какой системе счисления выполняется равенство:
12x * 33х = 406х
х - основание системы
Напишите решение

Для того чтобы найти основание системы счисления $x$, при котором выполняется равенство $12_x \times 33_x = 406_x$, нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Перевод чисел из системы счисления с основанием $x$ в десятичную систему.

1. $12_x$:
   Это число в системе счисления с основанием $x$ можно разложить следующим образом:

   $$12_x = 1 \cdot x + 2 = x + 2$$

2. $33_x$:
   Это число также разложим:

   $$33_x = 3 \cdot x + 3 = 3x + 3$$

3. $406_x$:
   Это число разложим по степеням основания $x$:

   $$406_x = 4 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 6 = 4x^2 + 6$$

Шаг 2: Запишем уравнение в десятичной системе.

Уравнение $12_x \times 33_x = 406_x$ в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

Шаг 3: Раскроем скобки.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

Теперь уравнение принимает вид:

Шаг 4: Приведём подобные члены.

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

Упрощаем:

Шаг 5: Решаем уравнение.

Вынесем $x$ за скобки:

Отсюда возможны два варианта:

1. $x = 0$, но это невозможно, так как основание системы счисления не может быть равно нулю.
2. $-x + 9 = 0$, откуда $x = 9$.

Шаг 6: Проверка.

Подставим $x = 9$ обратно в исходное уравнение, чтобы проверить правильность решения.

1. $12_9 = 1 \cdot 9 + 2 = 11$
2. $33_9 = 3 \cdot 9 + 3 = 30$
3. $406_9 = 4 \cdot 9^2 + 6 = 4 \cdot 81 + 6 = 324 + 6 = 330$

Проверим:

Таким образом, равенство выполняется, и правильным ответом является $x = 9$.

Ответ: основание системы счисления $x = 9$.