Маша и Петя загадывают друг другу натуральные нечётные числа большие  1. Какое наибольшее число могла загадать Маша, если Петя при угадывании получил  7 бит информации?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберёмся поэтапно.

Петя получил 7 бит информации при угадывании числа. Количество информации, полученное Петей, можно выразить через количество возможных вариантов чисел, которые Маша могла загадать. Информация в битах указывает на количество возможных вариантов, которые можно закодировать с помощью этого числа битов.

Если Петя получил 7 бит информации, это означает, что существует $2^7 = 128$ возможных вариантов чисел, которые Маша могла загадать. То есть Маша загадала одно из 128 чисел.

Теперь, так как Маша и Петя загадывают только натуральные нечётные числа больше 1, нам нужно понять, сколько таких чисел существует. Натуральные нечётные числа больше 1 — это числа 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, и так далее.

Чтобы найти наибольшее число, которое Маша могла загадать, нам нужно определить, какое число из этих 128 вариантов будет наибольшим.

Нечётные числа формируют арифметическую прогрессию, начиная с 3 и увеличиваясь на 2. Формула для нахождения $n$-го члена этой прогрессии (где $a_1 = 3$, $d = 2$) будет:

Нам нужно найти $n$, при котором $a_n$ будет равно 128-м числом в этой прогрессии. Для этого решим неравенство:

Решаем:

Таким образом, максимальное значение $n$ равно 63. Значит, наибольшее нечётное число, которое Маша могла загадать, это:

Ответ: наибольшее число, которое могла загадать Маша, — это 127.