В каких системах счисления справедливо равенство: а) 2*2=10; б) 2*3=11; в) 3*3=13 и почему?

Давайте разберём каждый пункт отдельно, рассматривая системы счисления с основанием $b$.

а) $2 \cdot 2 = 10$

Рассмотрим это равенство в системе с основанием $b$. В позиционной системе счисления:

Слева: $2 \cdot 2 = 4$.
Справа: $10_b = b$.

Для равенства нужно:

✅ Значит, равенство верно в системе с основанием 4.

Проверка: в 4-й системе $2 \cdot 2 = 4_{10} = 10_4$. Всё верно.

б) $2 \cdot 3 = 11$

Аналогично, $11_b = 1 \cdot b + 1 = b + 1$.
Слева: $2 \cdot 3 = 6$.

Приравниваем:

✅ Равенство верно в системе с основанием 5.

Проверка: $2 \cdot 3 = 6_{10} = 11_5$ — всё совпадает.

в) $3 \cdot 3 = 13$

Сначала раскроем $13_b = 1 \cdot b + 3 = b + 3$.
Слева: $3 \cdot 3 = 9$.

Приравниваем:

✅ Равенство верно в системе с основанием 6.

Проверка: $3 \cdot 3 = 9_{10} = 13_6$ — всё сходится.

Итог

? Почему так работает:

В системе с основанием $b$ цифры могут быть от 0 до $b-1$. Когда произведение чисел больше или равно основанию, оно записывается с переносом в старший разряд. Равенства отражают именно это: результат в десятичной системе представлен в виде цифр системы с основанием $b$.

Если хочешь, могу нарисовать наглядную таблицу умножения для этих систем, чтобы сразу видно было, как получаются такие «странные» записи.