Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 2^379+2^378+2^377 ?

Чтобы найти первую цифру в шестнадцатеричной записи числа $2^{379} + 2^{378} + 2^{377}$, разберем задачу пошагово.

1. Преобразование исходного выражения

Число $2^{379} + 2^{378} + 2^{377}$ можно переписать так:

Так как $2^2 = 4$, $2^1 = 2$, а $1$ остается как есть, то в скобках мы получаем:

Таким образом, наше выражение становится:

2. Определение первой цифры

Первая цифра числа в системе счисления определяется его старшими разрядами. В шестнадцатеричной системе для этого нужно оценить, сколько бит занимает число $2^{377} \cdot 7$ и как оно представляется.

Логарифмическая оценка

Для определения масштаба числа вычислим приблизительное значение $\log_{16} (2^{377})$. Переход к основанию 16 возможен через связь логарифмов:

Значения логарифмов:

• $\log_{10}(2) \approx 0.301$,
• $\log_{10}(16) = \log_{10}(2^4) = 4 \cdot \log_{10}(2) \approx 4 \cdot 0.301 = 1.204$.

Теперь вычислим $\log_{10}(2^{377})$:

Затем разделим это значение на $1.204$, чтобы получить $\log_{16}(2^{377})$:

Это означает, что $2^{377}$ находится примерно в $94$-й степени числа 16. Умножение на 7 не меняет порядок числа значительно, но влияет на старший разряд.

Представление в шестнадцатеричной системе

Число $2^{377}$ в шестнадцатеричном представлении будет начинаться с $1$, поскольку $16^{94} \leq 2^{377} < 16^{95}$. Умножение на $7$ изменит первую цифру:

Таким образом, первая цифра результата — это $7$ в шестнадцатеричной записи.

Ответ

Первая цифра в шестнадцатеричной записи числа $2^{379} + 2^{378} + 2^{377}$ — 7.