Найти неизвестные х и у, если верны соотношения 16^у Мбайт = 8^х бит и 32^х Кбайт = 2^у Мбайт

Чтобы решить систему уравнений для неизвестных $x$ и $y$, рассмотрим каждое из данных соотношений по очереди.

1. Преобразование первого уравнения:

Дано: $16^y \, \text{Мбайт} = 8^x \, \text{бит}$

Мы должны привести обе стороны уравнения к одной единице измерения. Для этого преобразуем обе стороны в биты (или биты в байты и наоборот).

Преобразуем 16 и 8 в степени двойки:

• $16 = 2^4$, поэтому $16^y = (2^4)^y = 2^{4y}$.
• $8 = 2^3$, поэтому $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

Теперь перепишем исходное уравнение, подставив эти выражения:

Переводим Мбайты в биты:

• 1 Мбайт = $2^{20}$ бит.

Таким образом, уравнение становится:

Применяем правило сложения степеней для одинаковых оснований:

Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

Это первое уравнение:

2. Преобразование второго уравнения:

Дано: $32^x \, \text{Кбайт} = 2^y \, \text{Мбайт}$.

Аналогично, преобразуем 32 и 2 в степени двойки:

• $32 = 2^5$, поэтому $32^x = (2^5)^x = 2^{5x}$.
• 1 Кбайт = $2^{10}$ байт, то есть $1 \, \text{Кбайт} = 2^{10} \, \text{байт}$, а 1 Мбайт = $2^{20} \, \text{байт}$.

Таким образом, 1 Кбайт = $2^{10}$ байт = $2^{10} \cdot 8 = 2^{13}$ бит.

Теперь перепишем уравнение с учетом преобразования в биты:

Применяем правило сложения степеней:

Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

Это второе уравнение:

3. Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $4y + 20 = 3x$
2. $5x + 13 = y + 20$

Перепишем второе уравнение:

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

Раскроем скобки:

Переносим все элементы, содержащие $x$, в одну сторону:

Теперь подставим значение $x = \frac{8}{17}$ в выражение для $y$: