Файл содержал несжатую
стереофоническую музыкальную композицию, оцифрованную с частотой дискретизации
22000 Гц и 65536 уровнями квантования. После преобразования файла за счет
уменьшения количества уровней квантования до 4096 при сохранении частоты
дискретизации, его объем уменьшился на 4125 Кбайт. Какова была
продолжительность записанной музыкальной композиции?

Для того чтобы найти продолжительность музыкальной композиции, можно воспользоваться следующим методом:

1. Вычислим объем файла до и после преобразования.

   • Исходный файл: оцифрован с частотой дискретизации 22000 Гц и 65536 уровнями квантования. Это означает, что для каждого канала (в случае стереофонического звука — для двух каналов) каждый сэмпл занимает 2 байта (65536 уровней — это 16 бит, а 2 канала — это 2 байта на сэмпл).

   • Размер исходного файла можно выразить как:

     $$\text{Объем исходного файла} = \text{Частота дискретизации} \times \text{Количество уровней квантования} \times \text{Количество каналов} \times \text{Продолжительность}$$

     Где "Продолжительность" — это искомая величина.

   • После преобразования количество уровней квантования уменьшилось до 4096, что соответствует 12 битам (4096 уровней = 12 бит). При этом частота дискретизации осталась прежней, а количество каналов также не изменилось.

   • Размер преобразованного файла можно выразить аналогично:

     $$\text{Объем преобразованного файла} = \text{Частота дискретизации} \times \text{Количество уровней квантования (4096)} \times \text{Количество каналов} \times \text{Продолжительность}$$

2. Используем разницу в объеме файла для нахождения продолжительности.

   Разница в объеме между исходным и преобразованным файлом составляет 4125 Кбайт, что можно выразить в байтах как:

   $$4125 \, \text{Кбайт} = 4125 \times 1024 \, \text{байт} = 4224000 \, \text{байт}$$

   Теперь разница в объеме файла между исходным и преобразованным можно представить как:

   $$\text{Разница в объеме} = (\text{Объем исходного файла}) - (\text{Объем преобразованного файла})$$ $$\text{Разница в объеме} = \left( 22000 \times 16 \times 2 \times t \right) - \left( 22000 \times 12 \times 2 \times t \right)$$

   Где $t$ — продолжительность композиции в секундах.

   Упростим выражение:

   $$\text{Разница в объеме} = 22000 \times 2 \times t \times (16 - 12) = 22000 \times 2 \times t \times 4$$ $$\text{Разница в объеме} = 176000 \times t$$

3. Решим уравнение для $t$:

   Мы знаем, что разница в объеме составляет 4224000 байт, то есть:

   $$176000 \times t = 4224000$$

   Разделим обе стороны на 176000:

   $$t = \frac{4224000}{176000} = 24$$

   Таким образом, продолжительность композиции составляет 24 секунды.

Это и есть искомая продолжительность музыкальной композиции.