Задача №1.
В базисном периоде численность населения – 10 млн. человек, рождаемость – 15 человек и смертность 18 человек на 1000 населения. В дальнейшем предполагается ежегодное увеличение рождаемости на 1 % и снижение смертности на 2,1 %. Определите численность населения на конец 3-летнего прогнозного периода с учетом коэффициентов рождаемости и смертности.

Для решения этой задачи нужно рассчитать изменение численности населения на протяжении трех лет, учитывая ежегодное изменение коэффициентов рождаемости и смертности.

Дано:

• Начальная численность населения: $P_0 = 10 \, \text{млн. человек} = 10{,}000{,}000 \, \text{человек}$.
• Коэффициент рождаемости в базисном периоде: $R_0 = 15 \, \text{на 1000 человек} = 0{,}015 \, \text{(в долях)}$.
• Коэффициент смертности в базисном периоде: $D_0 = 18 \, \text{на 1000 человек} = 0{,}018 \, \text{(в долях)}$.
• Ежегодное изменение коэффициентов:
  • Рождаемость увеличивается на $1 \%$ ежегодно.
  • Смертность уменьшается на $2{,}1 \%$ ежегодно.
• Прогнозный период: $T = 3 \, \text{года}$.

Этапы решения:

1. Рассчитаем коэффициенты рождаемости и смертности для каждого года:

   Коэффициент рождаемости для $t$-го года:

   $$R_t = R_0 \cdot (1 + 0{,}01)^t$$

   Коэффициент смертности для $t$-го года:

   $$D_t = D_0 \cdot (1 - 0{,}021)^t$$

2. Рассчитаем прирост населения за каждый год:

   Прирост населения в $t$-м году:

   $$\Delta P_t = P_{t-1} \cdot (R_t - D_t)$$

   Численность населения в конце года:

   $$P_t = P_{t-1} + \Delta P_t$$

3. Рассчитаем последовательно численность населения на конец каждого года.

Расчеты:

Год 1:

• $R_1 = 0{,}015 \cdot (1 + 0{,}01) = 0{,}01515$
• $D_1 = 0{,}018 \cdot (1 - 0{,}021) = 0{,}017622$
• $\Delta P_1 = 10{,}000{,}000 \cdot (0{,}01515 - 0{,}017622) = 10{,}000{,}000 \cdot (-0{,}002472) = -24{,}720 \, \text{человек}$
• $P_1 = 10{,}000{,}000 - 24{,}720 = 9{,}975{,}280 \, \text{человек}$.

Год 2:

• $R_2 = 0{,}015 \cdot (1 + 0{,}01)^2 = 0{,}015302$
• $D_2 = 0{,}018 \cdot (1 - 0{,}021)^2 = 0{,}017250$
• $\Delta P_2 = 9{,}975{,}280 \cdot (0{,}015302 - 0{,}017250) = 9{,}975{,}280 \cdot (-0{,}001948) = -19{,}445 \, \text{человек}$
• $P_2 = 9{,}975{,}280 - 19{,}445 = 9{,}955{,}835 \, \text{человек}$.

Год 3:

• $R_3 = 0{,}015 \cdot (1 + 0{,}01)^3 = 0{,}015455$
• $D_3 = 0{,}018 \cdot (1 - 0{,}021)^3 = 0{,}016884$
• $\Delta P_3 = 9{,}955{,}835 \cdot (0{,}015455 - 0{,}016884) = 9{,}955{,}835 \cdot (-0{,}001429) = -14{,}224 \, \text{человек}$
• $P_3 = 9{,}955{,}835 - 14{,}224 = 9{,}941{,}611 \, \text{человек}$