Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых прямые углы находятся при вершинах $C$ и $C_1$.

Дано:

• $\angle C=\angle C_1=90^\circ$, так как треугольники прямоугольные.

• $AC=A_1C_1$ — катеты равны.

• $\angle A=\angle A_1$ — прилежащие к этим катетам острые углы равны.

Требуется доказать:

Доказательство:

1. По условию катеты $AC$ и $A_1C_1$ равны.

2. Острые углы $A$ и $A_1$, прилежащие к данным катетам, также равны.

3. Поскольку оба треугольника прямоугольные, углы $C$ и $C_1$ равны $90^\circ$.

4. Таким образом, у двух треугольников равны одна сторона и два прилежащих к ней угла.

5. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Что и требовалось доказать.

Вывод

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу является следствием второго признака равенства треугольников.

Это объясняется тем, что у прямоугольных треугольников прямые углы всегда равны $90^\circ$. Поэтому для доказательства равенства таких треугольников достаточно установить равенство одного катета и прилежащего к нему острого угла.