Билет № 7 1. Второй признак подобия треугольников (доказательство). 2. Трапеция: определение. Свойства равнобедренной трапеции (доказательство одного из них). 3. Стороны прямоугольника равны 3 см и √3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника. Билет № 8 1. Третий признак подобия треугольников (доказательство). 2. Свойство и признак касательной (доказательство одного из них). 3. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если: а) АВ=3 см, ВС=5 см, СА=7 см, A1B1=4,5 см, B1С1=7,5 см, C1A1 = 10,5 см; Билет № 9 1. Теорема о медианах треугольника (доказательство). 2. Ромб: определение, свойства, вывод одного из особых свойств. 3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: АВ, если ОВ=4 см, OD=10 см, DC=25 см. Билет № 10 1. Теорема о вписанном угле (доказательство). 2. Прямоугольник: определение, признак, вывод его. 3. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника. Билет № 11 1. Теорема об окружности, вписанной в треугольник (доказательство). 2. Параллелограмм: определение, признаки, вывод одного из них. 3. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см. Билет № 12 1. Теорема об окружности, описанной вокруг треугольника (доказательство). 2. Прямоугольник: определение, свойства, вывод особого свойства прямоугольника. 3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°. Билет № 13 1. Теоремы о свойстве и признаке вписанного четырехугольника (доказательство одной из них). 2. Ромб: определение, признаки, вывод одного из них. 3. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон. Билет № 14 1. Теоремы о свойстве и признаке вписанного четырехугольника (доказательство одной из них). 2. Параллелограмм: определение, признаки, вывод одного из них. 3. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. Билет № 15 1. Вывод значений синуса, косинуса и тангенса для угла 30°. 2. Пропорциональные отрезки. Вывод теоремы о биссектрисе треугольника. 3. Постройте ромб по стороне и углу. Билет № 16 1. Вывод значений синуса, косинуса и тангенса для угла 45°. 2. Теорема об отрезках касательной, проведенной к окружности из одной точки (доказательство). 3. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см. Билет № 17 1. Вывод значений синуса, косинуса и тангенса для угла 60°. 2. Теорема об отрезках двух пересекающихся хорд. 3. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Билет № 7

1. Второй признак подобия: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то треугольники подобны.

Пусть \(AB:A_1B_1=AC:A_1C_1\) и \(\angle A=\angle A_1\). Построим треугольник с углом \(A_1\) и сторонами, пропорциональными сторонам \(AB\) и \(AC\). По признаку равенства по двум сторонам и углу между ними получаем соответствие углов. Значит, треугольники имеют равные соответствующие углы, то есть они подобны.

2. Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Эти стороны называются основаниями.

Равнобедренная трапеция — трапеция с равными боковыми сторонами. Её свойства: углы при каждом основании равны; диагонали равны.

Доказательство равенства углов при основании: опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Получатся два прямоугольных треугольника. Их гипотенузы равны как боковые стороны трапеции, а катеты-высоты равны как расстояния между параллельными прямыми. Значит, треугольники равны, поэтому соответствующие острые углы равны.

3. Диагональ прямоугольника вместе со сторонами образует прямоугольный треугольник с катетами \(3\) и \(\sqrt3\). Угол с большей стороной:

\[\tan \alpha=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}\]

Значит, \(\alpha=30^\circ\). Со второй стороной диагональ образует угол \(60^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Билет № 8

1. Третий признак подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.

Пусть \(AB:A_1B_1=BC:B_1C_1=CA:C_1A_1\). Построим треугольник, подобный \(A_1B_1C_1\), с коэффициентом подобия, равным этому отношению. Его стороны будут равны сторонам треугольника \(ABC\). По признаку равенства треугольников по трём сторонам он равен \(ABC\). Значит, исходные треугольники подобны.

2. Свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство: пусть прямая касается окружности в точке \(A\), а \(O\) — центр окружности. Если бы \(OA\) не был перпендикулярен касательной, то из центра можно было бы опустить на прямую меньший перпендикуляр. Тогда расстояние от центра до прямой было бы меньше радиуса, и прямая пересекала бы окружность в двух точках. Это противоречит тому, что она касательная. Значит, \(OA\perp a\).

Признак касательной: если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной.

3. Проверим отношения сторон:

\[\frac{4{,}5}{3}=1{,}5,\quad \frac{7{,}5}{5}=1{,}5,\quad \frac{10{,}5}{7}=1{,}5\]

Все три отношения равны, значит, стороны пропорциональны. По третьему признаку подобия треугольники подобны.

Ответ: да, подобны; коэффициент подобия второго к первому равен \(1{,}5\).

Билет № 9

1. Теорема о медианах: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Доказательство кратко: пусть две медианы пересеклись в точке \(O\). Через средние точки сторон строят среднюю линию треугольника. Из подобия получающихся треугольников следует, что точка пересечения делит каждую из этих медиан в отношении \(2:1\). Третья медиана проходит через ту же точку, поэтому все три медианы пересекаются в одной точке.

2. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба: противоположные углы равны; диагонали пересекаются и делятся пополам; диагонали перпендикулярны; диагонали являются биссектрисами углов.

Вывод особого свойства: диагонали ромба перпендикулярны. В ромбе соседние стороны равны, поэтому треугольники, образованные диагональю, равнобедренные. Диагональ параллелограмма делит другую диагональ пополам. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, значит, диагонали перпендикулярны.

3. В трапеции с основаниями \(AB\parallel CD\) точка пересечения диагоналей делит их пропорционально основаниям:

\[\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}\]

Подставим данные:

\[\frac{4}{10}=\frac{AB}{25}\]

\[AB=25\cdot \frac{4}{10}=10\]

Ответ: \(AB=10\) см.

Билет № 10

1. Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, или половине соответствующего центрального угла.

Доказательство в основном случае: пусть вписанный угол \(\angle ABC\) опирается на дугу \(AC\), а \(O\) — центр окружности. Центральный угол \(\angle AOC\) опирается на ту же дугу. Соединим \(O\) с вершинами. Получаются равнобедренные треугольники с радиусами. По сумме углов треугольника выходит, что центральный угол в два раза больше вписанного. Значит, вписанный угол равен половине центрального.

2. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Признак прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.

Вывод: в параллелограмме диагонали делятся пополам. Если диагонали равны, то половины диагоналей тоже равны. Треугольники, образованные сторонами и половинами диагоналей, оказываются равнобедренными так, что соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\) и при этом равны. Значит, каждый из них равен \(90^\circ\). Поэтому параллелограмм — прямоугольник.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_2}{S_1}=\frac{300}{75}=4\]

Значит, коэффициент подобия по сторонам:

\[k=\sqrt4=2\]

Сторона второго треугольника в \(2\) раза больше сходственной стороны первого:

\[\frac{9}{2}=4{,}5\]

Ответ: \(4{,}5\) м.

Билет № 11

1. Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, причём её центр находится в точке пересечения биссектрис.

Доказательство: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются в точке \(O\). Эта точка равноудалена от всех трёх сторон треугольника. Значит, можно провести окружность с центром \(O\), касающуюся всех сторон. Это и есть вписанная окружность.

2. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки параллелограмма: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны; если две противоположные стороны равны и параллельны; если диагонали пересекаются и делятся пополам.

Вывод одного признака: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то получаются две пары равных треугольников по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство накрест лежащих углов, значит, противоположные стороны параллельны. Поэтому четырёхугольник — параллелограмм.

3. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Половины диагоналей равны \(5\) см и \(12\) см. Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника:

\[a=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13\]

Площадь ромба:

\[S=\frac{d_1d_2}{2}=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

Ответ: сторона \(13\) см, площадь \(120\) см\(^2\).

Билет № 12

1. Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, её центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Доказательство: любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке \(O\). Тогда \(O\) равноудалена от всех трёх вершин треугольника. Значит, окружность с центром \(O\) и радиусом до любой вершины пройдёт через все три вершины.

2. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника: противоположные стороны равны и параллельны; диагонали равны; диагонали пересекаются и делятся пополам.

Вывод особого свойства: диагонали прямоугольника равны. Каждая диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам прямоугольника. По теореме Пифагора обе диагонали имеют одну и ту же длину \(\sqrt{a^2+b^2}\), значит, они равны.

3. В прямоугольной трапеции две меньшие стороны равны \(6\) см. Это высота и меньшее основание. Больший угол \(135^\circ\), значит, острый угол равен \(45^\circ\). Разность оснований равна высоте, потому что \(\tan45^\circ=1\).

Значит, большее основание:

\[6+6=12\]

Площадь:

\[S=\frac{6+12}{2}\cdot6=54\]

Ответ: \(54\) см\(^2\).

Билет № 13

1. Свойство вписанного четырёхугольника: если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\).

Доказательство: противоположные углы вписанного четырёхугольника опираются на две дуги, которые вместе составляют полную окружность, то есть \(360^\circ\). Каждый вписанный угол равен половине своей дуги. Поэтому сумма противоположных углов равна половине \(360^\circ\), то есть \(180^\circ\).

Признак: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^\circ\), то около него можно описать окружность.

2. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Признаки ромба: если в параллелограмме две соседние стороны равны; если диагонали параллелограмма перпендикулярны; если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла.

Вывод признака: если в параллелограмме две соседние стороны равны, то по свойству параллелограмма противоположные стороны соответственно равны. Значит, все четыре стороны равны. Такой параллелограмм является ромбом.

3. Площадь треугольника можно выразить через любую сторону и проведённую к ней высоту:

\[S=\frac12 ah\]

К большей стороне \(7{,}5\) см проведена высота \(2{,}4\) см:

\[S=\frac12\cdot7{,}5\cdot2{,}4=9\]

Теперь найдём высоту к стороне \(3{,}2\) см:

\[9=\frac12\cdot3{,}2\cdot h\]

\[h=\frac{18}{3{,}2}=5{,}625\]

Ответ: \(5{,}625\) см.

Билет № 14

1. Для вписанного четырёхугольника верно: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Обратное утверждение тоже верно: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^\circ\), то около него можно описать окружность.

Доказательство свойства: каждый угол вписанного четырёхугольника равен половине дуги, на которую он опирается. Две дуги, соответствующие противоположным углам, вместе дают \(360^\circ\). Поэтому сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).

2. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки: противоположные стороны попарно равны; две противоположные стороны равны и параллельны; диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Вывод признака: если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то диагональ делит его на два треугольника. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует параллельность второй пары противоположных сторон. Значит, четырёхугольник — параллелограмм.

3. Построение треугольника по двум сторонам и медиане к третьей стороне:

• Пусть даны стороны \(AB=c\), \(AC=b\) и медиана \(AM=m\) к стороне \(BC\).
• Постройте точку \(A\) и отрезок \(AM=m\).
• Так как \(M\) — середина \(BC\), точки \(B\) и \(C\) должны быть симметричны относительно \(M\).
• Постройте окружность с центром \(A\) и радиусом \(c\): на ней лежит точка \(B\).
• Постройте окружность с центром \(A\) и радиусом \(b\): на ней лежит точка \(C\).
• Используйте условие симметрии относительно \(M\): выберите точки \(B\) и \(C\), для которых \(M\) является серединой \(BC\).
• Соедините \(A\), \(B\), \(C\). Получится искомый треугольник.

Билет № 15

1. Возьмём равносторонний треугольник со стороной \(2a\). Все его углы равны \(60^\circ\). Проведём высоту: она делит треугольник на два прямоугольных треугольника с углами \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\).

Гипотенуза равна \(2a\), меньший катет равен \(a\). Второй катет:

\[\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt3\]

Для угла \(30^\circ\):

\[\sin30^\circ=\frac{a}{2a}=\frac12\]

\[\cos30^\circ=\frac{a\sqrt3}{2a}=\frac{\sqrt3}{2}\]

\[\tan30^\circ=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

2. Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения длин которых равны, например \(a:b=c:d\).

Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Если \(AD\) — биссектриса угла \(A\) в треугольнике \(ABC\), то:

\[\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\]

Идея доказательства: сравнивают площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\). У них высоты к прямой \(BC\) одинаковы, значит, отношение площадей равно \(BD:DC\). С другой стороны, эти площади можно выразить через стороны \(AB\), \(AC\) и равные углы при биссектрисе, поэтому отношение площадей равно \(AB:AC\). Следовательно, \(BD:DC=AB:AC\).

3. Построение ромба по стороне и углу:

• Постройте отрезок \(AB\), равный данной стороне.
• В точке \(A\) постройте данный угол.
• На второй стороне угла отложите \(AD=AB\).
• Через \(B\) проведите прямую, параллельную \(AD\).
• Через \(D\) проведите прямую, параллельную \(AB\).
• Точка их пересечения — \(C\). Четырёхугольник \(ABCD\) — искомый ромб.

Билет № 16

1. Возьмём квадрат со стороной \(a\). Диагональ делит его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника с углами \(45^\circ\), \(45^\circ\), \(90^\circ\).

Диагональ квадрата:

\[d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\]

Для угла \(45^\circ\):

\[\sin45^\circ=\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\]

\[\cos45^\circ=\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\]

\[\tan45^\circ=\frac{a}{a}=1\]

2. Теорема: отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

Пусть из точки \(P\) проведены касательные \(PA\) и \(PB\), где \(A\) и \(B\) — точки касания. Соединим \(O\) с \(A\), \(B\), \(P\). Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, поэтому \(\triangle OAP\) и \(\triangle OBP\) прямоугольные. У них общая гипотенуза \(OP\), а катеты \(OA\) и \(OB\) равны как радиусы. Значит, треугольники равны, поэтому \(PA=PB\).

3. Пусть биссектриса угла параллелограмма пересекает противоположную сторону и делит её на \(7\) см и \(14\) см. Длина этой стороны равна \(21\) см, значит, одна сторона параллелограмма равна \(21\) см.

Для параллелограмма биссектриса угла отсекает на противоположной стороне отрезок, равный соседней стороне. Поэтому другая сторона равна либо \(7\) см, либо \(14\) см.

Периметр может быть:

\[P=2(21+7)=56\]

или

\[P=2(21+14)=70\]

Ответ: \(56\) см или \(70\) см.

Билет № 17

1. Возьмём равносторонний треугольник со стороной \(2a\) и проведём высоту. Получится прямоугольный треугольник с углами \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\). Его гипотенуза \(2a\), меньший катет \(a\), больший катет \(a\sqrt3\).

Для угла \(60^\circ\):

\[\sin60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2a}=\frac{\sqrt3}{2}\]

\[\cos60^\circ=\frac{a}{2a}=\frac12\]

\[\tan60^\circ=\frac{a\sqrt3}{a}=\sqrt3\]

2. Теорема об отрезках пересекающихся хорд: если хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\), то произведения отрезков одной хорды равны произведению отрезков другой:

\[AO\cdot OB=CO\cdot OD\]

Доказательство основано на подобии треугольников, которые образуются при соединении концов хорд. У них равны вертикальные углы при точке \(O\), а также равны вписанные углы, опирающиеся на одни и те же дуги. Поэтому треугольники подобны, и из пропорции их сторон получается равенство произведений.

3. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\). Пусть углы равны \(x\), \(2x\), \(4x\), \(5x\). Тогда:

\[x+2x+4x+5x=360^\circ\]

\[12x=360^\circ\]

\[x=30^\circ\]

Углы:

\[30^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ,\ 150^\circ\]

Ответ: \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\), \(150^\circ\).

0 0 Пожаловаться