Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как решить неравенства! (Х-1)^2(х-4)<0

Чтобы решить неравенство $(x - 1)^2(x - 4) > 0$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдите нули выражения:
   Рассмотрим факторизованное выражение $(x - 1)^2(x - 4)$. Нули этого выражения — это значения $x$, при которых выражение становится равным нулю. Для этого приравняем каждую часть выражения к нулю:

   • $(x - 1)^2 = 0$ даёт корень $x = 1$ (заметьте, это корень кратности 2, т.е. не меняет знак).

   • $(x - 4) = 0$ даёт корень $x = 4$.

   Таким образом, нули — это $x = 1$ и $x = 4$.

2. Построим числовую прямую:
   Мы разделили числовую ось на интервалы, где выражение может менять знак. Эти интервалы будут: $(-\infty, 1)$, $(1, 4)$, $(4, +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале:
   Теперь нужно проверить знак выражения на каждом из интервалов, подставив значения из каждого интервала в выражение $(x - 1)^2(x - 4)$.

   • Интервал $(-\infty, 1)$: выберем точку $x = 0$. Подставим в выражение:

     $$(0 - 1)^2(0 - 4) = 1 \cdot (-4) = -4.$$

     Значит, выражение отрицательно на этом интервале.

   • Интервал $(1, 4)$: выберем точку $x = 2$. Подставим в выражение:

     $$(2 - 1)^2(2 - 4) = 1^2 \cdot (-2) = -2.$$

     Значит, выражение также отрицательно на этом интервале.

   • Интервал $(4, +\infty)$: выберем точку $x = 5$. Подставим в выражение:

     $$(5 - 1)^2(5 - 4) = 4^2 \cdot 1 = 16.$$

     Значит, выражение положительно на этом интервале.

4. Итоговые знаки:

   • На интервале $(-\infty, 1)$ выражение отрицательно.

   • На интервале $(1, 4)$ выражение также отрицательно.

   • На интервале $(4, +\infty)$ выражение положительно.

5. Учёт кратности корня:
   Поскольку корень в $x = 1$ имеет чётную кратность (2), знак выражения в этой точке не меняется, то есть выражение в точке $x = 1$ равно 0, и мы не включаем эту точку в решение.

6. Решение:
   Мы ищем, где выражение больше нуля, то есть на интервале $(4, +\infty)$.

   Ответ: $x > 4$.