Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза — 10 см. Каковы катеты треугольника? Решить с помощью системы уравнений второй степени.

Задача заключается в нахождении катетов прямоугольного треугольника, зная площадь и длину гипотенузы. Для этого можно составить систему уравнений с использованием свойств прямоугольного треугольника.

Пусть катеты треугольника — это $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. Известно, что гипотенуза равна 10 см, а площадь треугольника — 24 см².

1. Уравнение площади прямоугольного треугольника:
   Площадь прямоугольного треугольника выражается как:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

   Из условия задачи:

   $$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 24$$

   Умножим обе части на 2:

   $$a \cdot b = 48 \quad \text{(уравнение 1)}$$

2. Уравнение, связанное с гипотенузой:
   По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется равенство:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   Где $c = 10$ см (гипотенуза):

   $$a^2 + b^2 = 10^2 = 100 \quad \text{(уравнение 2)}$$

Таким образом, у нас есть система уравнений:

1. $a \cdot b = 48$

2. $a^2 + b^2 = 100$

Теперь решим эту систему.

Для этого выразим $b$ через $a$ из первого уравнения:

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:

Решим это уравнение:

Умножим обе части на $a^2$, чтобы избавиться от дроби:

Переносим все в одну сторону:

Положим $x = a^2$, тогда уравнение превращается в квадратное:

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, получаем два корня:

Поскольку $x = a^2$, то:

Следовательно, $a = 8$ или $a = 6$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$. Из первого уравнения:

Если $a = 8$, то $b = \frac{48}{8} = 6$.
Если $a = 6$, то $b = \frac{48}{6} = 8$.

Таким образом, катеты треугольника — это 6 см и 8 см.