Что больше: 3 в 40-й степени или 4 в 30-й степени?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте сравним числа 3 в 40-й степени и 4 в 30-й степени.

Начнем с того, что можно выразить 3 в 40-й степени как $3^{40}$, а 4 в 30-й степени как $4^{30}$. Теперь преобразуем выражения в более удобные для сравнения формы.

Обозначим $4^{30}$ как $(2^2)^{30} = 2^{60}$. Это помогает нам увидеть, что 4 в 30-й степени — это 2 в 60-й степени.

Теперь нужно сравнить $3^{40}$ и $2^{60}$. Оценим, как эти числа растут:

• $3^{40}$ — это достаточно большое число.

• $2^{60}$ также большое, но немножко меньше, чем $3^{40}$, так как $2^{60}$ растет медленнее, чем $3^{40}$.

Для точности можно взять логарифм от обеих величин, чтобы сделать сравнение более наглядным.

Используем логарифм по основанию 10:

• $\log_{10}(3^{40}) = 40 \cdot \log_{10}(3) \approx 40 \cdot 0.4771 = 19.084$

• $\log_{10}(2^{60}) = 60 \cdot \log_{10}(2) \approx 60 \cdot 0.3010 = 18.06$

Так как $19.084 > 18.06$, это означает, что $3^{40} > 2^{60}$, а следовательно, $3^{40} > 4^{30}$.

Ответ: $3^{40}$ больше, чем $4^{30}$.