Решите уровнения 3*4^x-5*6^x+2*9^x=0

Для того чтобы решить уравнение $3 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^x = 0$, можно воспользоваться заменой переменных, которая упростит задачу.

1. Перепишем уравнение, выразив все степени через основание 2:

   • $4 = 2^2$, поэтому $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

   • $6 = 2 \cdot 3$, поэтому $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$

   • $9 = 3^2$, поэтому $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$

   Таким образом, уравнение принимает вид:

   $$3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0$$

2. Для упрощения решим через замену переменных. Пусть:

   • $y = 2^x$

   • $z = 3^x$

   Тогда уравнение примет вид:

   $$3y^2 - 5yz + 2z^2 = 0$$

3. Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его методом выделения корней:

   $$3y^2 - 5yz + 2z^2 = 0$$

   Разделим на $z^2$ (при $z \neq 0$):

   $$3 \cdot \left(\frac{y}{z}\right)^2 - 5 \cdot \left(\frac{y}{z}\right) + 2 = 0$$

   Пусть $w = \frac{y}{z}$, тогда у нас получается квадратное уравнение:

   $$3w^2 - 5w + 2 = 0$$

4. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$$

   Корни уравнения:

   $$w = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$w_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1 \quad \text{и} \quad w_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}$$

5. Теперь возвращаемся к переменным $y$ и $z$. Мы знаем, что $w = \frac{y}{z}$, то есть:

   • Для $w_1 = 1$: $\frac{y}{z} = 1$, что означает $y = z$. То есть $2^x = 3^x$, а это возможно только при $x = 0$.

   • Для $w_2 = \frac{2}{3}$: $\frac{y}{z} = \frac{2}{3}$