Решите неравенство (х-3)(х+6)<0

Чтобы решить неравенство $(x - 3)(x + 6) > 0$, нам нужно найти, при каких значениях $x$ произведение двух выражений положительно.

Шаг 1: Нахождение корней

Для начала найдём корни уравнения $(x - 3)(x + 6) = 0$.

Это произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$,

• $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

Таким образом, корни уравнения — $x = 3$ и $x = -6$.

Шаг 2: Разбиение числовой оси на интервалы

Корни делят числовую ось на три интервала:

• $(-\infty, -6)$,

• $(-6, 3)$,

• $(3, +\infty)$.

Теперь рассмотрим знак произведения $(x - 3)(x + 6)$ на каждом из этих интервалов.

Шаг 3: Анализ знаков на интервалах

1. Интервал $(-\infty, -6)$:
   На этом интервале оба множителя $x - 3$ и $x + 6$ отрицательны, так как $x < -6$. Произведение двух отрицательных чисел будет положительным, то есть $(x - 3)(x + 6) > 0$.

2. Интервал $(-6, 3)$:
   На этом интервале $x - 3$ отрицателен, а $x + 6$ положителен. Произведение одного отрицательного и одного положительного числа будет отрицательным, то есть $(x - 3)(x + 6) < 0$.

3. Интервал $(3, +\infty)$:
   На этом интервале оба множителя $x - 3$ и $x + 6$ положительны, так как $x > 3$. Произведение двух положительных чисел будет положительным, то есть $(x - 3)(x + 6) > 0$.

Шаг 4: Условия неравенства

Неравенство $(x - 3)(x + 6) > 0$ выполняется на тех интервалах, где произведение положительно. Это происходит на интервалах $(-\infty, -6)$ и $(3, +\infty)$.

Ответ

Неравенство $(x - 3)(x + 6) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -6) \cup (3, +\infty)$.