log0,2(x-2)+log0,2x>log0,2(2x-3)

Для того чтобы решить неравенство $\log_{0,2}(x - 2) + \log_{0,2}(x) > \log_{0,2}(2x - 3)$, можно выполнить несколько шагов.

1. Применение свойств логарифмов: Воспользуемся свойством логарифмов, что $\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c)$. Применим это свойство к левой части неравенства:

   $$\log_{0,2}(x - 2) + \log_{0,2}(x) = \log_{0,2}((x - 2) \cdot x)$$

   Таким образом, неравенство становится:

   $$\log_{0,2}((x - 2) \cdot x) > \log_{0,2}(2x - 3)$$

2. Преобразование логарифмического неравенства: Теперь, так как основание логарифма $0,2$ меньше единицы (что делает логарифм убывающей функцией), можно заменить неравенство на противоположное:

   $$(x - 2) \cdot x < 2x - 3$$

3. Раскрытие скобок и упрощение:

   $$x^2 - 2x < 2x - 3$$

   Переносим все члены в одну сторону:

   $$x^2 - 2x - 2x + 3 < 0$$

   Упростим:

   $$x^2 - 4x + 3 < 0$$

4. Решение квадратного неравенства: Теперь решим квадратное неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$. Для этого найдем его корни с помощью дискриминанта:

   $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$

   Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ находятся по формуле:

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$

   Таким образом, квадратное неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$ решается на интервале $1 < x < 3$.

5. Проверка области определения: Логарифм существует только тогда, когда его аргумент положителен. Таким образом, для исходного неравенства должны выполняться следующие условия:

   $$x - 2 > 0, \quad x > 0, \quad 2x - 3 > 0$$

   Эти неравенства дают следующие ограничения:

   • $x - 2 > 0$ означает $x > 2$,

   • $x > 0$ очевидно,

   • $2x - 3 > 0$ означает $x > 1.5$.

   На основании этих ограничений на область определения получаем, что $x > 2$.

6. Ответ: С учетом области определения и решения квадратного неравенства, окончательное решение:

   $$x \in (2, 3)$$