4^х - 2^(х+3) + 7 = 0 [1;4] (С1)

Решим уравнение $4^x - 2^{x+3} + 7 = 0$ на интервале $[1;4]$.

1. Перепишем $4^x$ через степень с основанием 2:

   $$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}.$$

   Уравнение примет вид:

   $$2^{2x} - 2^{x+3} + 7 = 0.$$

2. Далее, введем замену $y = 2^x$. Тогда $2^{2x} = y^2$, и уравнение станет:

   $$y^2 - 2^{x+3} + 7 = 0.$$

   Заметим, что $2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8y$. Подставим это:

   $$y^2 - 8y + 7 = 0.$$

3. Теперь решим квадратное уравнение $y^2 - 8y + 7 = 0$. Для этого воспользуемся формулой решения квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}.$$

   Считаем дискриминант:

   $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36.$$

   Тогда корни уравнения:

   $$y = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7, \quad y_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1.$$

4. Теперь вернемся к переменной $y = 2^x$. Мы получили два значения для $y$:

   • $y_1 = 7$, тогда $2^x = 7$, отсюда $x = \log_2 7$.

   • $y_2 = 1$, тогда $2^x = 1$, отсюда $x = 0$.

5. Рассмотрим, какие из этих значений принадлежат интервалу $[1; 4]$:

   • $x = \log_2 7 \approx 2.81$, это значение лежит в интервале $[1; 4]$.

   • $x = 0$, это значение не лежит в интервале $[1; 4]$.

Таким образом, решение уравнения на интервале $[1; 4]$ — это $x \approx 2.81$.