Сколькими способами можно расставить 7 автомобилей на стоянке, на которой 7 мест? А если нужно, чтобы 2 определённых автомобиля находились рядом?

Чтобы решить задачу, разобьём её на два этапа: сначала без условий, а затем с условием, что два определённых автомобиля должны быть рядом.

1. Без условий

Когда на стоянке 7 мест и нужно расставить 7 автомобилей, то можно рассматривать эту задачу как задачу на перестановки. Количество способов расставить 7 автомобилей на 7 мест — это количество перестановок из 7 элементов, которое вычисляется по формуле для факториала:

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

Таким образом, без дополнительных условий количество способов расставить 7 автомобилей на 7 местах — 5040.

2. Если два определённых автомобиля должны быть рядом

Когда два автомобиля должны быть рядом, их можно рассматривать как один "блок", то есть как один объект. Таким образом, на стоянке теперь нужно расставить 6 объектов: 5 автомобилей и 1 "блок" из двух машин.

Количество способов расставить эти 6 объектов на 6 местах будет равно количеству перестановок из 6 элементов:

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

Однако в пределах этого "блока" два автомобиля могут быть расположены двумя способами: один может быть слева, а другой справа, или наоборот.

Таким образом, для каждого из 720 способов расположить "блок" на стоянке существует 2 варианта расположения автомобилей внутри этого блока. То есть общее количество способов расставить автомобили с учётом, что два конкретных автомобиля должны быть рядом, равно:

$6! \times 2 = 720 \times 2 = 1440$

Ответ: 1440 способов.