Cтороны правильного треугольника авс равны 2 корня из 3. Найдите длину вектора ab+ac

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной

1. Длины векторов

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ имеют одинаковую длину:

2. Угол между векторами

В равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен $60^\circ$. Следовательно,

то есть угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ тоже $60^\circ$.

3. Находим длину суммы $\vec{AB} + \vec{AC}$

Используем формулу для модуля суммы двух векторов через закон косинусов (или теорему о скалярном произведении):

Подставляем значения:

1. Квадраты длин:

   $$|\vec{AB}|^{\,2} = |\vec{AC}|^{\,2} = (2\sqrt{3})^{2} = 12.$$

2. Произведение длин с учётом угла:

   $$2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 12.$$

3. Складываем под корнем:

   $$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{12 + 12 + 12} = \sqrt{36} = 6.$$

Ответ: $6$.