16^(x+1/4) - 41*4^(x-1) + 9 = 0

Давайте решим уравнение $16^{x+\frac{1}{4}} - 41 \cdot 4^{x-1} + 9 = 0$.

1. Приведем все выражения к одинаковому основанию.

   Мы знаем, что $16 = 4^2$, поэтому можно переписать $16^{x + \frac{1}{4}}$ как $(4^2)^{x + \frac{1}{4}} = 4^{2(x + \frac{1}{4})} = 4^{2x + \frac{1}{2}}$.

   Таким образом, уравнение становится:

   $$4^{2x + \frac{1}{2}} - 41 \cdot 4^{x-1} + 9 = 0$$

2. Упростим выражение.

   Перепишем $4^{2x + \frac{1}{2}}$ как $4^{2x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = 4^{2x} \cdot 2$, потому что $4^{\frac{1}{2}} = 2$.

   Получаем:

   $$2 \cdot 4^{2x} - 41 \cdot 4^{x-1} + 9 = 0$$

3. Представим $4^x$ через новую переменную.

   Обозначим $y = 4^x$. Тогда $4^{2x} = y^2$ и $4^{x-1} = \frac{y}{4}$. Подставим это в уравнение:

   $$2 \cdot y^2 - 41 \cdot \frac{y}{4} + 9 = 0$$

   Умножим все на 4, чтобы избавиться от дробей:

   $$8 \cdot y^2 - 41y + 36 = 0$$

4. Решим полученное квадратное уравнение.

   Это обычное квадратное уравнение $8y^2 - 41y + 36 = 0$. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-(-41) \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 36}}{2 \cdot 8}$$

   Вычислим дискриминант:

   $$\Delta = (-41)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 36 = 1681 - 1152 = 529$$

   Теперь находим корни:

   $$y = \frac{41 \pm \sqrt{529}}{16} = \frac{41 \pm 23}{16}$$

   Получаем два значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{41 + 23}{16} = \frac{64}{16} = 4, \quad y_2 = \frac{41 - 23}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$$

5. Возвращаемся к переменной $x$.

   Так как $y = 4^x$, то:

   • Для $$