У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу — по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Чтобы найти наибольший возможный доход фермера, нужно рассчитать доход от выращивания картофеля и свеклы на каждом поле и оптимизировать их распределение.

1. Определение переменных

Пусть:

• $x_1$ — площадь, отведенная под картофель на первом поле (в гектарах).

• $y_1$ — площадь, отведенная под свеклу на первом поле (в гектарах).

• $x_2$ — площадь, отведенная под картофель на втором поле (в гектарах).

• $y_2$ — площадь, отведенная под свеклу на втором поле (в гектарах).

Итак, у нас есть следующие условия:

• На первом поле $x_1 + y_1 = 10$ гектаров.

• На втором поле $x_2 + y_2 = 10$ гектаров.

• Все площади (x и y) не могут быть отрицательными, то есть $x_1, y_1, x_2, y_2 \geq 0$.

2. Урожайность и доход

• Урожайность картофеля на первом поле: 300 ц/га, на втором поле — 200 ц/га.

• Урожайность свеклы на первом поле: 200 ц/га, на втором поле — 300 ц/га.

• Цена картофеля: 10 000 руб. за центнер.

• Цена свеклы: 13 000 руб. за центнер.

Доход от картофеля на первом поле:
$\text{Доход от картофеля 1} = 300 \cdot x_1 \cdot 100$
(т.к. урожайность — это центнеры на гектар, а цена — за центнер).

Доход от свеклы на первом поле:
$\text{Доход от свеклы 1} = 200 \cdot y_1 \cdot 130$

Доход от картофеля на втором поле:
$\text{Доход от картофеля 2} = 200 \cdot x_2 \cdot 100$

Доход от свеклы на втором поле:
$\text{Доход от свеклы 2} = 300 \cdot y_2 \cdot 130$

3. Общий доход

Общий доход фермера будет суммой всех доходов:

4. Оптимизация

Фермеру нужно разделить площадь каждого поля между картофелем и свеклой так, чтобы общий доход был максимальным. Это задача на максимизацию, которую можно решить методами линейного программирования или простым перебором.

Предположим, что фермер решит выделить на каждом поле только один вид культуры:

• На первом поле фермер может выбрать между картофелем (если $x_1 = 10$ и $y_1 = 0$) или свеклой (если $x_1 = 0$ и $y_1 = 10$).

• На втором поле фермер также может выбрать между картофелем (если $x_2 = 10$ и $y_2 = 0$) или свеклой (если $x_2 = 0$ и $y_2 = 10$).

Проверим все возможные комбинации:

Сценарий 1: Все картофель на первом поле, все свекла на втором:

• Доход от картофеля на первом поле: $300 \cdot 10 \cdot 100 = 300 000$ руб.

• Доход от свеклы на втором поле: $300 \cdot 10 \cdot 130 = 390 000$ руб.

• Общий доход: $300 000 + 390 000 = 690 000$ руб.

Сценарий 2: Все свекла на первом поле, все картофель на втором:

• Доход от свеклы на первом поле: $200 \cdot 10 \cdot 130 = 260 000$ руб.

• Доход от картофеля на втором поле: $200 \cdot 10 \cdot 100 = 200 000$ руб.

• Общий доход: $260 000 + 200 000 = 460 000$ руб.

Сценарий 3: Половина картофель, половина свекла на обоих полях:

• На первом поле: 5 гектаров картофеля и 5 гектаров свеклы.

• Доход от картофеля на первом поле: $300 \cdot 5 \cdot 100 = 150 000$ руб.

• Доход от свеклы на первом поле: $200 \cdot 5 \cdot 130 = 130 000$ руб.

• На втором поле: 5 гектаров картофеля и 5 гектаров свеклы.

• Доход от картофеля на втором поле: $200 \cdot 5 \cdot 100 = 100 000$ руб.

• Доход от свеклы на втором поле: $300 \cdot 5 \cdot 130 = 195 000$ руб.

• Общий доход: $150 000 + 130 000 + 100 000 + 195 000 = 575 000$ руб.

5. Ответ

Наибольший доход фермер может получить в сценарии, когда на первом поле он выращивает только картофель, а на втором — только свеклу. Этот доход составит 690 000 рублей.