Решить уравнение: sin(x - π/3) = 1/2

Для решения уравнения $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, нужно найти все значения $x$, при которых синус выражения $x - \frac{\pi}{3}$ равен $\frac{1}{2}$.

1. Найдем аргументы, при которых синус равен $\frac{1}{2}$.
   Известно, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Период синуса — это $2\pi$, поэтому все значения $\theta$, при которых $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$, будут иметь вид:

   $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,$$

   где $k$ — любое целое число.

2. Подставим $x - \frac{\pi}{3}$ вместо $\theta$:
   Получаем два уравнения:

   $$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi.$$

3. Решим каждое уравнение относительно $x$:

   • Для первого уравнения:

   $$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,$$

   прибавим $\frac{\pi}{3}$ к обеим частям:

   $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi.$$

   • Для второго уравнения:

   $$x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,$$

   прибавим $\frac{\pi}{3}$ к обеим частям:

   $$x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi.$$

4. Ответ:
   Все решения уравнения $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ можно записать как:

   $$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi,$$

   где $k$ — любое целое число.