Решите уровнение a) sin t=0 б) sin t=1/√2 в) sin t=-√3​

Решим тригонометрические уравнения для каждого случая по отдельности. Для этого будем учитывать свойства функции синуса и её периодичность.

a) $\sin t = 0$

Функция синуса принимает значение $0$ в точках, кратных $\pi$, т.е.: $t = \pi n,$ где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число). Это значит, что синус равен нулю, когда угол $t$ равен $0$, $\pi$, $2\pi$, $3\pi$, и так далее, в обе стороны. Таким образом, решение уравнения: $t = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

б) $\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Значение $\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ соответствует углу $t = \frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$). Однако функция синуса положительна в первой и второй четвертях, поэтому возможны два решения на интервале $[0, 2\pi]$: $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Общая форма решений с учётом периодичности синуса: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

в) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углу $t = \frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$), но так как синус отрицательный, это значение принимается в третьей и четвёртой четвертях.

Решения на интервале $[0, 2\pi]$ будут:

1. В третьей четверти: $t = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$,
2. В четвёртой четверти: $t = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Общая форма решения с учётом периодичности синуса: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Итоговые решения:

• $\sin t = 0$: $t = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$
• $\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$
• $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ или $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$