Найдите наибольшее значение выражения $2\cos^2\alpha - 3\sin\alpha$.

Давайте разберёмся, как найти наибольшее значение выражения:

1. Выразим $\cos^2\alpha$ через $\sin\alpha$

Из основного тригонометрического тождества:

Подставим это в выражение:

2. Введём новую переменную

Обозначим $x = \sin\alpha$, тогда функция превращается в:

Так как $\sin\alpha$ принимает значения от $-1$ до $1$, то область определения $x$ такова:

3. Найдём критические точки

Найдём производную функции:

Приравняем к нулю:

Эта точка лежит в интервале $[-1,1]$, поэтому её следует проверить.

4. Найдём значения в критических точках и на границах

Вычислим значение функции в $x = -\frac{3}{4}$, $x = -1$ и $x = 1$.

• При $x = -1$:

• При $x = 1$:

• При $x = -\frac{3}{4}$:

5. Вывод

Наибольшее значение функции достигается в точке $x = -\frac{3}{4}$, и оно равно:

Ответ: наибольшее значение выражения равно $\frac{25}{8}$ или 3.125, и оно достигается при $\sin\alpha = -\frac{3}{4}$.