Sin^2(2x)+sin^2(3x)=1

Для решения уравнения $\sin^2(2x) + \sin^2(3x) = 1$ начнем с того, что выражение можно упростить, используя известные тригонометрические тождества.

1. Использование идентичности для синуса:
   Напоминаем, что для любых углов $\theta$ выполнено $\sin^2(\theta) \leq 1$. Следовательно, обе части уравнения $\sin^2(2x)$ и $\sin^2(3x)$ также будут принимать значения от 0 до 1.

2. Рассмотрим крайние случаи:
   Поскольку сумма двух квадратов синусов равна 1, каждый из этих синусов должен быть либо равен 0, либо равен 1, чтобы сумма их квадратов могла равняться 1. Рассмотрим два возможных случая:

   • Когда $\sin(2x) = 1$, то $\sin^2(2x) = 1$, и тогда уравнение сводится к:

     $$1 + \sin^2(3x) = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2(3x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin(3x) = 0.$$

     Это означает, что $2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Также $3x = n\pi$, где $n$ — целое число, что дает $x = \frac{n\pi}{3}$.

     Нам нужно решить систему:

     $$x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{n\pi}{3}.$$

     Чтобы найти решение этой системы, приравняем выражения для $x$:

     $$\frac{\pi}{4} + k\pi = \frac{n\pi}{3}.$$

     Умножим на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

     $$3 + 12k = 4n.$$

     Это диофантово уравнение, которое имеет решение для целых чисел $k$ и $n$.

   • Когда $\sin(3x) = 1$, то $\sin^2(3x) = 1$, и уравнение сводится к:

     $$\sin^2(2x) + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2(2x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin(2x) = 0.$$

     Это означает, что $2x = n\pi$, где $n$ — целое число, или $x = \frac{n\pi}{2}$.

     Таким образом, $3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, что дает $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$.

     И опять, мы получаем систему:

     $$x = \frac{n\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}.$$

     Решение этой системы также сводится к диофантовому уравнению, которое можно решить для целых $k$ и $n$.

В обоих случаях, получаем бесконечное множество решений для различных значений $k$ и $n$, которые можно подставить в полученные уравнения для нахождения конкретных значений $x$.