Найти производную первого порядка функции $y = x^3 + \sin(x^2)$.

Для того чтобы найти производную первого порядка функции $y = x^3 + \sin(x^2)$, нужно воспользоваться стандартными правилами дифференцирования.

Шаг 1: Разделим функцию на два слагаемых:

$y = x^3 + \sin(x^2)$

Производную от этой функции можно найти по частям, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

Шаг 2: Находим производную от первого слагаемого $x^3$.

Используем правило дифференцирования степенной функции:

Для $x^3$ производная будет:

Шаг 3: Находим производную от второго слагаемого $\sin(x^2)$.

Для нахождения производной от составной функции, применим цепное правило. Пусть $u = x^2$, тогда $\sin(x^2) = \sin(u)$. Согласно цепному правилу:

Теперь $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$, следовательно, производная от $\sin(x^2)$ будет:

Шаг 4: Собираем результат.

Теперь, когда мы нашли производные от обоих слагаемых, объединяем их:

Таким образом, производная функции $y = x^3 + \sin(x^2)$ по $x$ равна: