Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x - y + 3z - 1 = 0 и x + 2y + z = 0.

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной двум заданным плоскостям, нужно использовать следующее.

1. Найдем нормальные векторы обеих плоскостей.

   Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $(A, B, C)$ — нормальный вектор к плоскости. Для заданных плоскостей:

   • Для плоскости $2x - y + 3z - 1 = 0$ нормальный вектор равен $\vec{n_1} = (2, -1, 3)$.

   • Для плоскости $x + 2y + z = 0$ нормальный вектор равен $\vec{n_2} = (1, 2, 1)$.

2. Найдем вектор, перпендикулярный обоим нормальным векторам.

   Чтобы плоскость была перпендикулярна обеим данным плоскостям, ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен нормальным векторам этих плоскостей. Для этого нужно вычислить векторное произведение $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$.

   Векторное произведение двух векторов $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ вычисляется по формуле:

   $$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$$

   Подставляем компоненты:

   $$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right|$$

   Раскрываем определитель:

   $$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \hat{i}((-1)(1) - 3(2)) - \hat{j}(2(1) - 3(1)) + \hat{k}(2(2) - (-1)(1))$$ $$= \hat{i}(-1 - 6) - \hat{j}(2 - 3) + \hat{k}(4 + 1)$$ $$= \hat{i}(-7) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(5)$$