Упрастите: (sin10+sin80)(cos80-cos10)/sin80

Давайте упростим выражение $(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ)/\sin 80^\circ$.

1. Используем формулы для суммы синусов и разности косинусов. Эти формулы гласят:

   $$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$$

   и

   $$\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$$

2. Применим эти формулы к нашему выражению.

   Для $\sin 10^\circ + \sin 80^\circ$ можно воспользоваться формулой для суммы синусов:

   $$\sin 10^\circ + \sin 80^\circ = 2 \sin \left( \frac{10^\circ + 80^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{80^\circ - 10^\circ}{2} \right) = 2 \sin 45^\circ \cos 35^\circ$$

   Так как $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

   $$\sin 10^\circ + \sin 80^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 35^\circ = \sqrt{2} \cdot \cos 35^\circ$$

   Для $\cos 80^\circ - \cos 10^\circ$ применим формулу для разности косинусов:

   $$\cos 80^\circ - \cos 10^\circ = -2 \sin \left( \frac{80^\circ + 10^\circ}{2} \right) \sin \left( \frac{80^\circ - 10^\circ}{2} \right) = -2 \sin 45^\circ \sin 35^\circ$$

   Опять же, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

   $$\cos 80^\circ - \cos 10^\circ = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 35^\circ = -\sqrt{2} \cdot \sin 35^\circ$$

3. Теперь подставим это в исходное выражение:

   $$\frac{(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ)}{\sin 80^\circ} = \frac{(\sqrt{2} \cdot \cos 35^\circ)(-\sqrt{2} \cdot \sin 35^\circ)}{\sin 80^\circ}$$