3^(2x+1)+8-3^(x)-3>0

Рассмотрим неравенство:

$3^{2x+1} + 8 - 3^x - 3 > 0.$

1. Перепишем выражение для упрощения:
   $3^{2x+1} + 8 - 3^x - 3 = 3 \cdot 3^{2x} + 8 - 3^x - 3.$
   Это получилось, потому что $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x}$.

2. Упростим константы:
   $3 \cdot 3^{2x} + 8 - 3^x - 3 = 3 \cdot 3^{2x} - 3^x + 5.$

3. Теперь у нас получается неравенство:
   $3 \cdot 3^{2x} - 3^x + 5 > 0.$

4. Подставим $y = 3^x$. Это упростит выражение:
   $3 \cdot y^2 - y + 5 > 0.$

5. Мы получаем квадратное неравенство:
   $3y^2 - y + 5 > 0.$

6. Для нахождения корней этого квадратного уравнения используем дискриминант:

   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 1 - 60 = -59.$$

   Так как дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

7. Так как коэффициент при $y^2$ (то есть 3) положительный, парабола, соответствующая этому квадратному уравнению, открывается вверх. Поскольку у уравнения нет действительных корней, выражение $3y^2 - y + 5$ всегда больше нуля для всех $y$.

8. Поскольку $y = 3^x$ всегда положительно для всех $x$, то неравенство $3y^2 - y + 5 > 0$ всегда выполняется.

Ответ: Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.