1. Дано комплексное число z. Требуется : 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 1) алгебраическая форма z=x+iy тригонометрическая z=r(cosφ+isinφ) 2) в тригонометрической форме возвести число z в квадрат и найти все корни уравнения u^5=z^2 , т.е. извлечь 5 корней z = 4/1-i

Для комплексного числа $z = \frac{4}{1 - i}$, сначала нужно записать его в алгебраической и тригонометрической формах, а затем выполнить требуемые операции.

1. Запись числа $z$ в алгебраической форме

Для того чтобы выразить комплексное число в алгебраической форме $z = x + iy$, нужно избавиться от мнимого числа в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное число $1 + i$:

Таким образом,

Это и есть алгебраическая форма числа: $z = 2 + 2i$.

2. Запись числа $z$ в тригонометрической форме

Чтобы записать число в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, нам нужно найти модуль и аргумент комплексного числа.

Модуль $r$ числа $z$:

Модуль числа $z = 2 + 2i$ вычисляется как:

Аргумент $\varphi$ числа $z$:

Аргумент числа $z = 2 + 2i$ можно найти с помощью формулы:

Аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$, так как $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.

Итак, тригонометрическая форма числа $z$ будет:

3. Возведение числа $z$ в квадрат

Теперь нужно возвести число $z$ в квадрат в тригонометрической форме. Для этого используем формулу для возведения в степень:

Для $n = 2$ получаем: