Запишите комплексное число z = 1 + i в тригонометрической и показательной форме.

Комплексное число $z = 1 + i$ можно записать в тригонометрической и показательной форме, используя его модуль и аргумент. Вот пошаговый процесс:

1. Нахождение модуля числа $z$:

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ определяется как:

В нашем случае:

2. Нахождение аргумента числа $z$:

Аргумент комплексного числа определяется как угол $\varphi$, на который точка $z$ поворачивается относительно положительной оси $x$ в комплексной плоскости. Формула:

Для $z = 1 + i$:

Так как $z$ находится в первой четверти, значение аргумента $\varphi = \frac{\pi}{4}$ остаётся неизменным.

3. Тригонометрическая форма:

Тригонометрическая форма комплексного числа записывается как:

Подставляем найденные значения:

4. Показательная форма:

Показательная форма комплексного числа базируется на формуле Эйлера:

Поэтому комплексное число можно записать как:

Подставляем значения:

Ответ:

• Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{2} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$
• Показательная форма: $z = \sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}}$